根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得
N?2?y1N2t?1????[?W(r)]dr??0L122?W012(r)dr （6）证毕。
三、有关单位根过程的极限分布
1、 一般形式的泛函中心极限定理
前面所介绍的泛函中心极限定理是针对独立同分布序列??t?而言的。如果序列??t?不是白噪声序列而是一般的平稳序列，则上述结论就不再成立。此时，有更一般形式的泛函中心极限定理。
一般形式的泛函中心极限定理：
设序列?ut?：u1,u2,?,ut,?为一平稳过程，它有无穷阶MA表示形式：
ut??t??1?t?1??2?t?2????(B)?t???j?t?j其系数??j?满足条件：
j?0? (5.2.12)
?j?j?0?j?? (5.2.13)
比绝对收敛条件略强，任意平稳ARMA过程都满足它。 ??t?独立同分布，且满足
E(?t)?0,D(?t)??2??,
贝弗里奇-纳尔逊分解
Beveridge-Nelson(1981)提出，有
t?1,2,?
?ut?1Tt??(1)??t??T??0
t?1T ?(1)???j，?t??aj?t?j，其中aj??(?j?1??j?2?)且?aj??。故?t为一平稳过程。
j?0j?1j?0???
r为闭区间[0，1]上的任一实数，记Nr?[rN]，构造如下统计量：
1X(r)?N那么，当N??时，统计量
?u1Nrt (5.2.14)
NX(r)有如下极限： 1u?N1NrtL?????(1)W(r) (5.2.15)
NX?r??显然，一般形式的泛函中心极限定理是前述泛函中心极限定理的推广。根据该
定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。
2、 有关单位根过程的极限分布
假设序列?yt?遵从单位根过程：
yt?yt?1?ut (5.1.5)
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其中平稳过程?ut?满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。则有
yt?y0??t??0??(1)??j
j?1t令
?j?E(utut?j)??若y0?0，那么，下列极限成立： （1） N?122???ss?0?s?j,j?0,1,2,?
????(1)
?u1N1NtL????W(1)；
L（2） N?12?ut?j?t???N(0,?2?0),j?1,2,?；
（3） N（4） N?1?uu1Ntt?jp????j,j?0,1,2,;
?1?y1N1NL2???????W(1)?1?; t?1t（5） N?1?yt?1ut?jN12?122?W(1)??0,??2L???j?1?122??W(1)??0???i,?i?0?2??j?0??;
j?1,2,?（6） N?32L????W(r)dr； ?yt?1?1N011L（7） N?32?tut?j?????W(1)??W(r)dr?,??0??1j?0,1,2,?；
（8） N（9） N（10） N
?2?y1N1N1N2t?1????L2?W010112(r)dr;
?52L????rW(r)dr； ?tyt?1??3L???2?rW2(r)dr. ?tyt2?1?0第3节 Dickey—Fuller单位根检验（DF检验）
前面两节已为检验单位根做了理论准备。下面我们介绍Dickey—Fuller建
立的单位根检验法。
任何一个序列都有其自身的真实生成过程。Dickey—Fuller假设数据序列是由下列两种模型之一产生：
（1） yt??yt?1??t， (5.3.1)
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（2） yt????yt?1??t； (5.3.2)
其中，?t~iid(0,?2)。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验： 情形一：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.1)中检验假设：
H0:??1
情形二：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.2)中检验假设：
H0:??1;??0
情形三：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在其中检验假设：
H0:??1;
情形四：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在回归模型yt????yt?1??t??t中检验假设：
H0:??1;??0
对于上述各种情形下的回归模型，可以使用最小二乘法得到参数估计量和相应的t或F统计量。但是，Dickey与Fuller的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的t统计量不再服从渐近正态分布，F统计量的分布与普通的F分布也大不相同，从而临界值与拒绝域发生变化。此时，统计量的极限分布依赖于数据生成过程及回归模型形式的选择（即是否包含常数项和趋势项），具体分布如下：
一、 情形一的DF检验法
1、检验方法
回归模型(5.3.1)系数?的OLS估计为：
????y?yt?1yt2t?1
构造统计量：
t?????????? (5.3.3) 122???2??s?yt?1?其中s2为模型的剩余方差。
在H0:??1成立的条件下，t统计量为：
??1??1??t??????s2y2????t?12t?112?yt?1(yt?yt?1)?y?y2t?1t?1t12212?1
2t?112?s?y?2 ??[?y][s]?[NN?1?yt?1?t?2?y2t?1][s]2121
2在H0:??1成立的条件下，模型(5.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限定理成立，因此，
N?1?y?2t?1t????2LL?22??W2102(1)?1
??N?yt?1?????W?r?dr
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其中W(r)为维纳过程。又因为s2为?2的相合估计，根据连续影射定理，t统计量具有如下极限：
21N?1?Yt?1?t??????1?L2W1?1t????? (5.3.4) 1112221?222???2?N?Yt?1?S??W?r?dr???0?即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明t检验统计量不再服从传统的t分布，传统
的t检验法失效。上面的极限分布一般称为Dickey—Fuller分布，对应的检验称为DF检验。
由于W(1)2~?2(1)，(5.3.4)式的分母恒正，分子是?2(1)分布与其均值之差，因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因P{?2(1)?1}?0.70，所以检验值大都是负数。
??1)?T(?T?yt?1(yt?yt?1)?yt2?1?N?1?yt?1?tN?2?yt2?1W?1??1?? ?????W?r?dr?L122120
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Dickey—Fuller分布是非标准的，因此人们用Monte Carlo方法模拟得到检验的临界值，并编成DF检验临界值表（情形一）供查。在进行DF检验时，比较t统计量值与DF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。在实际应用中，可按如下检验步骤进行：
(1) 根据所观察的数据序列，用OLS法估计不带常数项的一阶自回归模型：
yt??yt?1??t
得到回归系数?的OLS估计
yt?1yt???? 2y?t?1(2) 提出假设：
H0:??1
2检验用统计量为常规t统计量，
????????t??????s2?yt2?1??1根据(5.3.4)式，在H0:??1
成立的条件下，该统计量的极限分布为Dickey—
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