??j?N?1t?j?1?u??utNt?j， j=0,1,2,….
及????(1)的估计值：
????0?2??1??2j?1q??j??j ???q?1?其中，q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第h阶之后），??j对
?2的贡献可忽略不记，则q取为h。构造该估计量的Newey和West建议q取3?或4。
2?的标准差???（3） 计算参数估计量??和残差ut的估计方差s?1?t2。 u?N?2（4） 将上述计算结果代入Z?或Zt统计量的表达式，得到统计量的值，查临
界值并进行比较，然后作出推断。 二、ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验
ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验法由Dickey和Fuller于1979年提出，该方法是对DF检验的推广，所以常称为增广DF检验。其特点是，假设时间数据序列?yt?是由一个P阶自回归过程AR（P）生成的，然后建立估计模型并进行单位根检验。
在介绍ADF检验法之前，先分析P阶自回归过程的特性。
1、P阶自回归过程的特性
假设时间序列?yt?服从AR(P)过程：
yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p??t (6.4.11)
其中，?t为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为：
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?(B)yt?yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p
?(1??1B??2B2????pBp)yt??t (6.4.12) 令
???1??2????p
?j??(?j?1????p);j?1,2,?,p?1
可将滞后多项式?(B)分解成：
?(B)?(1??1B??2B2????pBp)
?(1??B)?(?1B??2B2????p?1Bp?1)(1?B) (6.4.13) 则(6.4.12)式可转化为：
?(B)yt?{(1??B)?(?1B??2B2????p?1Bp?1)(1?B)}yt??t
整理可得：
yt??yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.14)
若服从(6.4.11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程：
1??1z??2z2????pzp?0
有且只有一个值为1的根，从而有：
?(1)?1??1??2????p?1???0
上式等价于??1。因此，对服从(6.4.11)的序列的单位根检验，就是检验模型(6.4.14)中是否有??1。
将模型(6.4.14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(6.4.14)中多了?yt的p-1个滞后项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(6.4.14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的
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单位根检验。因为事实上，由(6.4.13)式可得特征多项式的如下表示形式：
?(z)?(1??1z??2z2????pzp)
?(1??z)?(?1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)
当序列有且只有一个单位根时，??1，从而有
(1??1z??2z2????pzp)?(1??z)?(?1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)
?(1??1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)
使上式左边为零的根中，除了一个根为1外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此
(1??1z??2z2????p?1zp?1)?0
的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式
C(B)?1??1B??2B2????p?1Bp?1
的逆存在，在??1 为真的情况下，(6.4.14)式可写成：
(1??1B??2B2????p?1Bp?1)?yt??t (6.4.15)
进一步可表示为：
?yt?C?1(B)?t??(B)?t?ut (6.4.16)
其中，?(B)?C?1(B)为一无穷阶的滞后多项式。(6.4.16) 式恰好为模型(6.4.1)在
??1时的形式。说明在模型(6.4.14)中检验单位根，与PP单位根检验在本质上是
相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的单位根检验被称为增广DF检验。
2、ADF检验：
与DF检验一样，ADF检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行
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单位根检验。
情形一：数据序列由模型(6.4.14)生成，并在其中单位根，即H0:??1。 情形二：数据序列由模型(6.4.14)生成，在如下估计模型中检验H0:??1。
yt????yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.17)
情形三：数据序列由模型(6.4.17)生成，在其中检验H0:??1。
情形四：数据序列由模型(6.4.17)生成，在如下估计模型中检验H0:??1。
yt????t??yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.18)
首先考察情形二：
（1）可以证明，在H0:??1成立时，对模型(6.4.17)进行最小二乘估计，得
?是?的超一致估计，并且有如下极限： 到的???1)N(?L???1??1??2????p?112??W?1???1??W?1??210W?r?dr2??W?r??dr?[?20110W?r?dr] (6.4.19)
??1)的极限分布(6.3.7)一致，从可见，此极限分布与DF检验情形二中统计量N(?而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用?j（j=1,2,…,p-1）的最小二乘估计??j代替?j，得修正统计量：
ZADF???1)N(? (6.4.20)
???1??1??2????p?1该统计量的极限分布与(6.4.19)相同。
（2）对于检验H0:??1的t统计量，可以证明有如下极限分布：
t???1?L?????????12???W?r??dr?[?W?r?dr]?121200??W?1???1??W?1??W?r?dr21012 (6.4.21)
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此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(6.3.9)是完全一致的。说明在ADF检验中，不需要对t统计量进行修正，就可直接利用DF检验中的临界值表进行检验。
ADF与DF单位根检验的t统计量分布完全重合（T=100）
这与PP检验形成鲜明对照。我们知道，在PP检验中，需要对t统计量进行修正。其原因主要是，PP检验中对回归系数?的最小二乘估计没有考虑受扰动项
?是?的超一致估计，序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计?但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借
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