用DF检验临界值表，就必须对t统计量进行修正，修正后的统计量Z（见(6.4.10)）t的极限分布才与DF检验情形二中t统计量的极限分布相同。ADF检验则不同，
?和??j是同时估计的，由于增添了?yt的滞后项，随机扰动项不在该检验法中，?再序列相关，因此在构造t统计量时不需再作修正。
（3）可以证明，滞后项?yt的系数估计量??j有正态的极限分布，从而对参数?j的假设检验可由一般的t统计量和F统计量进行检验，临界值可在一般的t分布和F分布表中查得。
（4）对于联合假设H0:??1,??0，可用F统计量进行检验。F统计量为
~?2)/2(R2?RF?2 (6.4.22) ?R/(N?p?1)?2为无约束的残差平方和，2为假设中受约其中，R2为有约束的残差平方和，R
~束的个数，p+1为模型中待估参数的个数。F检验统计量的极限分布存在，但不再是标准的F分布，相应的临界值已由人们用Monte Carlo模拟方法得到并编制成表供查。
此外，Dickey和Fuller还证明了，对于情形一和情形四，检验H0:??1的ZADF统计量：
ZADF???1)N(?
???1??1??2????p?1和t统计量：
t???1??? ????都有非常规的极限分布，它们的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用DF检验对应情形的临界值表。而对于情形三，t统计量的极限分布为常规的t分布，因此可用常规的t检验，临界值由t分布表查得。
26
上面我们对ADF检验的相关理论做了简要介绍。在实际应用中，出于理论上和实践上的考虑，常用如下三种回归模型进行ADF检验：
?yt??yt?1???i?yt?i??t (6.4.23)
i?1k?yt????yt?1???i?yt?i??t (6.4.24)
i?1k?yt????t??yt?1???i?yt?i??t (6.4.25)
i?1k在模型中引入足够的滞后项?yt?i，目的在于使残差白化。因此，检验单位根的假设H0:??1在上述模型中就变为H0:??0。
五、其它高效的单位根检验法简介
在样本数较小时，DF单位根检验的检验功效是很低的，这时常常会将平稳过程误判为存在单位根。ADF与PP的检验功效尽管有所改善，但也并不让人特别满意。为了解决这个问题，人们从不同的角度，提出了各种提高单位根检验功效的检验方法。 （一） WS（对称加权）检验
1994年，Pantula等人提出WS对称加权检验法。用后向延迟和前向延迟两
?： ?及其方差?个回归式，通过求两个残差加权平方和的最小值来估计?Q(?)??wt(yt??yt?1)??(1?wt?1)(yt??yt?1)2 （7.52）
2t?2t?1TT?1其中权重wt?(t?1)/T。
?，然后用DF检验同样的方法?及其方差?通过使Q(?)最小来估计回归系数?来构造统计检验量。
（二） RMA（递归均值调整）检验
2001年，Dong Wan Shin等人提出RMA递归均值调整单位根检验法。其基本设想是用递归平均取代样本平均来估计回归系数及其方差，可应用于DF、ADF或PP等检验中。
通常回归分析中样本平均数的计算公式为：
27
y?T?1?y,tt?1tTt?1,2,...T
而递归平均数的定义为：
yt?t?1?y,ii?1t?1,2,...T
也即平均数不使用所有样本计算出来的统一值，而只用它之前和它本身的观测值来计算，而不涉及到其后的样本值。
对通常的DF统计而言，有
?o?(y??1??(yt?1t?1?y)et2?y)t?1
对RMA而言，有
?r?(y??1??(y?yt?1)et2?y)t?1t?1
RMA用递归平均代替普通样本平均进行计算，其好处在于：DF计算中，因
(yt?1?y)与et是相关的，故估计出来的回归系数是有偏的，特别是样本数较小或回归系数接近于1时，偏误是很大的，导致此时的检验功效不高。
?=1的单位根情形时，而对RMA而言，表明et与(yt?1?yt?1)E[?(yt?1?yt?1)et]?0，是不相关的，故而可显著改善对回归系数?估计的有偏性，进而改善单位根检验的功效。
（三） MAX (最大值) 检验
1995，雷波恩(Leybourne)提出MAX单位根检验法。设时间序列滞后模型为：
yt??zt??yt?1?ut
其中zt表示确定趋势部分。设序列DF统计量为DFf。其反射模型为：
vt??zt??vt?1??t
其中
vt?yT?1?t，即vt序列为{yT,yT?1,,y1}。反射模型的DF 统计量为DFr。
可以构造单位根检验的统计量：MAX=max(DFr,DFf)。其极限分布为：
MAX?max(F0,R0)
28
其中F0?(1/2)(W(1)2?1)?W(1)?W(r)dr01(?W(r)dr?[?W(r)dr])0012121/2
R0??(1/2)(W(1)?1)?W(1)?W(r)dr021(?W(r)dr?[?W(r)dr])0012121/2
MAX检验法的思路是这样的：由
yt??yt?1?ut可以得到反射模型
yt?1?yt/??ut/?，如果序列为单位根过程，则应该有??1/??1，由此得到两
个检验回归式。
根据极限分布或者蒙特卡罗仿真，容易求出其检验临界值。结果表明，较DF检验而言，MAX检验确实改善了检验功效。让人好奇的是，如果将MAX检验与其它高功效检验法（如RMA或WS检验）结合，是否还可以继续提高检验功效呢？事实证明并非如此，其原因在于，检验功效的提高总有一个限度，普通的MAX检验渐近检验功效已经很接近高斯渐近势包络线了，没有进一步提高的空间。
29