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四维矢量。
满足变换规律
F?'??a??a??F?? （1.3c）
的物理量，称为四维二阶张量。
这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。
相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有相同的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。
构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。
四维能量—动量矢量
?ip??(p?E) （1.4）
c是协变量。
两个协变矢量的标积是不变量。因为
??B???a???A?a???B??A??B? A?式中对相同指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。
作p?p?的标积，构成的不变量：
?2E2p?p??p?2?不变量
c?当p?0,W?mc2，推导的关系式
E2?p2c2?m2c4 （1.5a）
即
E2?p2?m2 (1.5b)
这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。
§4 量子力学 一维谐振子
1．量子力学的假定
描述微观粒子运动规律的量子力学是基于下列假定的： （a）微观体系的状态可由一个波函数??x,t?完全描述。
? 6
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例如，在时刻t，在坐标x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz的无限小区域d?内找到子的几率为：
?2?dw?C?x,t?d?C是比例系数。
（b）力学量用厄密算符表示。经典力学中的力学量（C数）在量子力学中用表
?示这个力学量的算符（Q数）表示。如能量E和动量p，对应算符是：
?? ， p??i?? （1.6） ?t算符满足一定对易关系，如：
E?i?[pi,qj]?i??ij
[pi,pj]?0 [qi,qj]?0 （1.7）
对易关系就是量子化规则。 (c)体系状态满足薛定格方程
???H? (1.8) ?t??（d）体系的波函数??x,t?可以用算符的本征函数?(x,t)作展开：
H??E?, i??x,t???Cn?n?x,t? （1.9）
n??(e)体系满足泡利原理。
动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进行量子化。
2. 一维谐振子的量子化
在经典力学中，线形谐振子的运动方程是：
mx??kx (1.10)
??拉格朗日量是：
11L?m(x)2?kx2 (1.11)
22哈密顿量为：
H?xx?L???1(p2?m2x2?2) (1.12) 2m式中 p?mx,??k。 m 7
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现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代x?x,p??i?.运动方程
??.H?(x,t)?E?(x,t) (1.13)
为
??d212(?m?x)?(x,t)??E?(x,t) (1.14) 22mdx22引入对易关系：
??xi,pj???i?ij
??xi,xj?????pi,pj???0 (1.15)
这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。
现引入一个新表象作处理，用算符a和a?代替p，x ，令
a?1(p?i?mx) (1.16a) 2m?a??容易证明：
1(p?i?mx) (1.16b) 2m?[a,a?]?1
[a,a]?[a?,a?]?0 （1.17）
和 a?a?H?1 (1.18a)
?2即
1H?(N?)? （1.18b）
2式中 N?a?a （1.19） 则谐振子的量子化问题转变成为对算符N的本征态求解问题。本征方程是
Nn??nn? （1.20）
n是算符N的本征态。方程（1.20）和对易关系（1.17）完成了在新表象中对谐振子的量子化。这一表象称为占有数表象。 量子力学中已证明： (a)、N厄密正定，
N??N, n?0
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(b)、a和a分别称为产生算符和湮灭算符。 当m为正整数时，
Nan??(n?1)an? ， Namn??(n?m)amn? （1.21a） Na?n??(n?1)a?n? , Na?mn??(n?m)a?mn? (1.21b)
?式中: a或a?m表m次作用a或a。由（1.21）式知，若n?是N的本征矢。那么an?，a?n? 也是N的本征矢，且a |n?~ |n-1? .a? |n>~ |n+1>，每作用一次a或a? ，本征矢减少或增加一级.所以, a? 和a分别称为产生算符和湮灭算符.
(c)、n为整数 .
(d)、记最低能态为|0> ,且<0|0>=1 . 有:
a|0>=0 (1.22)
|n>=
1n!m?a?n|0> (1.23)
这些是一维谐振子量子化的主要结果。
§5Lorentz变换
1. Lorentz变换
两惯性坐标系之间的时空变换中，使间隔s2保持不变的变换称为Lorentz变换，即要求
dx??dx???dx?dx?
由
dx??dx???显然有：
?x???x?dx??x???x?dx??dx?dx?
?x???x???x??x????? （1.21）
式中???为Kronecker符号。这是Lorentz变换的正交条件。
惯性系的概念本身要求从一个惯性坐标系到另一个惯性坐标系的时空变换
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必须是线形的，即
??a??a??x?x?或X'?AX
式中A为变换矩阵，a??为A的矩阵元，不考虑平移则变换应是齐次的：
x???a??x? (1.22)
正交变换条件（1.21）变为
a??a?????? (1.23)
令AT代表变换矩阵的转置，则（1.23）可写为
Ta???a??????
AT?A?I （1.24）
记A的行列式 |A|?detA，依据 |AB|?|A|?|B| 有
detATA?detAT?detA?detI?1
而detAT?detA，故有 (detA)2?1，即
detA??1 （1.25）
利用 a?4a?4?1，有
a244?1??ai4ai4?1?|?ai4ai4|?1
i?13即
a44??1，或a44??1 （1.26）
由（1.25）和（1.26）式，可将Lorentz变换作如下分类：
表1.3 Lorentz变换的分类 detA ?1 ?1 ?1 ?1 a44 ?1 ??1 ?1 ??1 类别 E R P T 性质 连续 分立 分立 分立
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