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??(x)??3??(x)?????(x?)dx?
??(x?)对比?函数的性质知
???(x)?? ?(x?x?)?? （2.62）
??(x?)?)，我们有 对于两个函数的泛函，例如拉氏量L(?,???)??(?L(?,??L?L?3???(x)???(x))dx (2.63a) ?????(x)??(x)另一方面，在分立记号中有
?]??(?L[?,?i?L?L?i) ??i????i??i??1?L1?L?i)?Vi (2.63b) ??i?????Vi??i?Vi??i ＝?(i令（2.63a）等同于（2.63b）式的连续极限，由于在不同点的变分互相独立，可得到：
?L1?L ????(x,t)lim?V??(t)?V?0iii
?L1?L （2.64） ??lim?(x,t)?V?0?Vi???(t)??i?其中x位于第i个小格中。
将（2.60）公式作
1?Ld?L(?)?0 lim?i(t)dt???Vi?0?Vi??i(t)利用（2.64）式得场的Eular-Lagrange方程
?L??L?(??)?0 (2.65)
???(x,t)?t??(x,t)?)满足的方程。 这是拉氏量L(?,?引入拉氏密度函数作进一步的研究，定义：
L??Ld3x (2.66)
???(x,t)的泛函，考虑到作为协变量也应与L是拉氏函数密度，注意L是?(x,t),?
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???x,t?有关，所以L应为?和???的泛函L??,????，这样作用量为：
s??L(?,???)d4x
由最小作用原理
??L??L?s??dx???????????=0
??????????4由于x不变??????????? 上式化为
??L??L?L?s??dx??????()?????(??)?=0
??????????????4上式最后一项利用四维高斯定理，积分为0，并考虑积分区域的任意性，所以导出
??L??L?????0 (2.67)
???????????这就是用拉氏密度函数表示的场的Enlar-Lagrage方程，这一方程，统一的描述了各类的场。 例如，设
11LKG?????????m2?? （2.68）
22代入Enlar-Lagrage方程，得标量场的Klein-Gorden方程
??????m2??x??0
?即LKG氏标量场的拉氏量的一个选择。 若
LD?????????m?? （2.69）
由（2.69）知，方程化为旋量场的Dirac方程
??????m???x??0
即LA是旋量场拉氏量的一个选择。 若
11LA??F??F???m2A?A? （2.70）
42方程化为矢量场的Froca方程
????A??m2A?
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??A??0
即LA是矢量场拉氏量的一个选择。
4. 场的Hamilton的形式
现在将场的Lagrange形式过渡到Hamilton形式。
还是将场分为无穷多但可数的nN个小格，对场中第i个小格vi，选正则坐标为场函数?(x,t)在小格vi中的平均值。
?i(t)?1v??(x,t)d3x ivi共轭动量是
p?L(t)i(t)???t) i(即
p?i(t)????)?Livi?Li??vi??ivi i(ti式中
?Lii???? (2.74) i哈密顿量定义为
H??pi?i?L (2.75)
即对小格体元?vi
Hi?pi?i?Livi?(?i?i?Li)vi
令
Hi??i?i?Li (2.76)
则
H??Hivi 体元?Vi的Hamilton方程为
（2.71） （2.72） （2.73） （2.77）
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。?H?H。??pi, ??i （2.78） ??i?pi取N??,?Vi?0，即过渡到连续情况。
定义场变量?(x)的共轭动量为：
?(x)?Lim?x??L。 （2.79）
?Vi?0??(x)哈氏量（2.77）过度为
H?。?LimVI?0?Hi?Vi??LimV0(?i?i?Li)?Vi
i???(??。?L)d3x (2.80a)
即
???Hd3x 式中
H(x)??(x)?。(x)?L(x) 称为哈氏量密度。
由（2.78）式，作
?H1?H(t)??(x)??LimV?0?V ii??i(t)?H1?H(t)??(x)??LimV?V i?0i??i(t)及 ?Lim1V(?p1i）?Lim(???Vi)???
i?0?Vi?Vi?0?Vii 所以Hamilton运动方程是
?H??(x)????(x), ?H???(x)??(x) (2.82) 这样Lagrange方程等价地可由Hamilton方程(2.82)所代替。
5. 泊松括号
定义泛函F??,??和G??,??的泊松括号为：
（2.80b）
（2.81）
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?F,G?pb??V(?F?G?F?G（2.83） ?)d3x
??(x)??(x)??(x)??(x)对于泛函F??,??的时间微分：
dF?F??F?3??dx(???) dx????代入(2.82)式有：
F??d3x(??F?H?F?H?)
????(x)????(x)依据泊松括号定义（2.83）则
F??F,G?pb （2.84）
泊松括号定义（2.83）中，若令F??(x)，G?H则
???(x),H?pb????(x)?Hd3x?
??(x?)??(x?)??x??d3x?????x? ????x?x???即
??x?????x?,H?pb （2.85a） ?同理有
??x?????x?,H?pb （2.85b） ?这是Hamilton方程（2.82）的另一表式。
同理，还可导出
???????x,t?,??x?,t??pb??3?x?x?? （2.86a）
???????x,t?,??x?,t??pb????x,t?,?(x?,t)?pb?0 （2.86b）
这些关系式可用于向量子括号过渡。
§5 对称性与守恒律
1. 概说
对称是一个古老的观念，这一观念来源于自然界存在着对称，如六角形的雪花，对称的叶片，美丽的蝴蝶，人体的左右对称等。在人类生活中，也早已喜爱
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