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对称，如古代的有些对称的青铜器，庄重对称的皇宫建筑，对称的诗歌等。生活中的对称是美，是艺术。对称观念应用于科学，最早见于几何学，十九世纪把对称应用于晶体研究，是对称在物理学上应用的一大进步。
但是什么是对称，例如问：“有多少种移动和转动使晶格不变？”这些促使数学家提出了群的观念，群的观念是十九世纪数学的一大发明，对数学和物理都有着深刻的影响。对称的科学观念及其重要性是逐步形成的，二十世纪初期，相对论和量子论的发现，使对称性在物理上的应用大为推广，并突显其重要性。
物理学中的对称性观念是：物质的状态和运动规律在某一变换下不改变，则称该状态和运动规律具有这一变换的对称性。也就是说，将所研究的对象称为系统，将系统从一个状态变化到另一个状态称为变换，如果状态在某一变换下不变，即变换后到一个等价的状态，则这个变换就称为系统的一个对称变换。 在物理学中应用对称性的概念，发现了对称性与守恒律的深刻关系，这方面最重要的是Noether的证明。按李政道说法，一切对称性的根源在与对于某些基本量的不可观测性。例如绝对空间是不可观测的,坐标原点的选取不影响两个粒子的相互作用能V?V(r1?r2)，或者说,坐标原点从A处的0点平移至B处的o’,相互作用位能V不改变,因为两粒子的总动量改变率是力，
(?1??2)V(r1?r2)?0，它等于零，所以两粒子系统的总动量守恒。这例子说明,由于绝对时空间位置是不可观测量,空间平移这一变换不改变位能,相应守恒量是动量,表1.1列出了部分对称性与守恒律的关系
表 1.1 不可观测量 绝对空间位置 绝对时间 绝对空间方向 电荷绝对符号 P和n不同的相干混合态之间的差别 对称性变换 空间平移r?r??r 时间平移t?t??t 转动r?r` 守恒定律或选择定则 动量 能量 角动量 电荷共轭宇称 同位旋 e??e ?p??n???n?????p?? ????电荷不同态之间的??ei??? 相对相位
电荷 狭义相对论把麦克斯韦方程组的对称抽取出来,变成重要的协变性概念,这是物理学的又一大进步,把电磁场方程对称化,是把实验方程作对称化,先实验后
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理论，反之若先理论上确定对称性,后寻找对称化的方程，再由实验验证,这就为物理学的研究提供了有力的武器。设定力学方程必须对称，构建力学协变量,组建力学的协变方程,改造了经典力学,建立了相对论论力学，这是研究最成功的一例。理论物理中,不少研究就是按这个思路，从对称性出发做研究的。爱因斯坦是按照不管坐标怎什么改,方程形式不应该改这一思路,建立了广义相对论。. 对称性有两类,一类是时空的对称性,例如时空平移和洛伦兹变换,另一类是内部对称性,在场论中,它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的,在不同时空点的场作独立变换,称为规范变换,最早发现的定域对称性是电磁场的规范对称性。量子力学建立了以后,发现带电粒子与电磁作用的量子理论是一种规范不变理论,在这个理论中,运动方程在带电粒子波函数的定域相位变换下保持不变.(电磁场势作用相应变换)。1954年杨振宁和Mills把电磁场的规范理论作了推广,推广到非阿贝尔规范,认为定域对称性不只是适用于带电粒子与电磁场的相互作用,这一对称性应当在物质作用的理论中起基本作用,通过一系列的工作，得到一个结论，所有相互作用都是由对称所支配的，这就是杨振宁所说的：“今天得到一个原则，对称支配作用力”。
对称性在物理中的重要性，杨振宁1995年在广西大学讲演中给出了的图表见表1.1：
表1.1 在物理学中，对称性分为四类：
（a）置换对称性：玻色—爱因斯坦统计和费米—狄拉克统计； （b）连续时空对称性：坐标平移、转动等；
（c）分立对称性：空间反射、时间反演、正反粒子共轭等； （d）幺正对称性：与电荷守恒、同位旋守恒等联系的对称性。
对称性显示了物质世界的统一性，反映了不同物质形态在运动中的共性。不对称性显示了物质世界的多样性。对称性依赖于不可观测量，一旦一个不可观测量被证实是可观测的，这就产生了对称破缺，最著名的例子是左右对称的宇称守
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恒，1957年，李政道、杨振宁的理论，吴健雄的实验，证明在弱作用下，左右是不对称的。“绝对的左”可观测。宇称不守恒。这说明，不仅有对称，也有稍微的不对称，今日的对称，明日又可能是不对称的。
2. Norther定理：
为了研究场系统在对称变换下的对称性。我们利用Lagrange的一个基本性质证明，使拉氏量密度保持不变的连续对称性变换产生守恒定律，由此可以确定运动常数。
1、Norther定理的证明
如果作用量s在关于时空坐标x?和场量?(x)的某种连续变换下是不变的，则一定存在着守恒律和守恒量。这就是Norther定理。
假定，在坐标的无穷小变换：
?x??x???x? （2.87a） 及相应的场量变换：
??(x?)??(x)???(x) （2.87b）
的联合变换下，作用量保持不变：
?s???Ld4x?0 （2.88）
则有连续性方程：
??f??0 （2.89）
式中
f??T???x??是守恒流，
?L?? （2.90） ????T???L????是能量动量张量， 守恒量为
?L?? （2.91）
?????x?G??i?f4d3x （2.92）
这就是Norther定理得数学表示。
证明如下：
在无穷小变换下，作用量变分：
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?s??L(??(x?),?????(x?))d4x???L(?(x),???(x))d4x （2.93）
因为 d4x??J(x?)d4x 式中J是Jaccobi变换因子。在x?无穷小变换（2.87a）
x下
x??J()?1??x? (2.94) x?x?则(2.93)化为：
?S??(?L?L???x?)d4x (2.95)
式中 ?L?L(??(x?),?'???(x?))?L(?(x),???(x)) 将?L分解为两部分，
?L???L??xL (2.96)
式中
?xL?L(?(x?),?'?(x?))?L(?(x),???(x))
??L?x?x? (2.97) ???L?L(??(x?),?'???(x?))?L(?(x?),???(x?))
??L????L?????????? ????L??????L?L???(?????)?(??????)????? ???L?(?????) (2.98) ??这里依（2.38）式,
??????(x)??(x)????????x?
即
??L??L?(???(???????x?)) (2.99) ??将（2.96）—（2.98）代入（2.95）有
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?s??[??(?L??(?????L???x?))??x?x??L???x?]d4x???
????f?d4x?0即得（2.89）至（2.91）式，Norther定理得证。
守恒量易于证明。
G(t)??i?f4d3x
有
dGdt??i??f4?td3x???f4?xd3x 4因为 ???f??0，有▽?f??4f4?0 所以
G????▽??fd3x?????f?d?s?0
即G是守恒量。
3.时空平移和能量动量守恒
应用Norther定理，讨论几种变换和相应的守恒量。 时空平移是： x???x???? dx????
??是无穷小常数，在时空平移下，由于时空的均匀性，场函数不变
??(x?)??(x) ???0
即时空平移条件是：
dx????，
???0 将这个条件代入f? 表式(2.90)，时空平移下的守恒流为
f??T????? T??的表式是（2.91），所以守恒律是：
??T???0
相应的守恒量是
2.100） 2.101）
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（（