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DetA=1， a44??1的E类变換称为正Lorentz变换，detA??1 ， a44??1的E和P变换，称为完全Lorentz变换。 例：
（a） 恒等变换
条件是： x???x? 变换矩阵为
??1000?A??0100??? ?0010??0001??detA=+1，a44??1,属于E类，是连续变换。 （b） 空间反演变换条件是：?
x????x， t’=t
变换矩阵为
???1000?0?100?A???? ?00?10??0001??detA=-1, a44?0,属于P类，是分立变换。 （c） 时间反演变换
条件是 ： ?x???x， t’=-t
变换矩阵为
??1000?A??0100???0010? ??000?1??detA=-1，a44?0,属于T类，是分立变换。 （d） 时间空间联合反演变换条件是： ?x????
x， t’=-t
变换矩阵为
???1000?A??0?100??? ?00?10??000?1??detA=1, a44?0,属于R类，是分立变换。
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2. 无穷小变换
在恒等变换邻域作无穷小变换
a?????????? (1.27)
式中???是无穷小量，将上式代入正交条件(1.23)式知
???????? (1,28)
???是反对称的。因为detA=+1，a44??1,属于E类，是连续变换。
变换式(1,27)可写为矩阵形式
iA?I????J?? (1,29)
2由 ???的反对称性，可将???改写为
????11(???????)????(?????????????)22 1????(J??)??2式中
(J??)????i(?????????????) (1.30)
J??是4?4矩阵，(1.30)是它的(?,?)矩阵元的表示，例如(J12)12??i，(J23)23??i 等，有：
?0?i?i0J??12?00?00??0?0J??31?i?0??0?0 J??23?0??000??0000??0?0?000??0?i0?i00?000?
?0?i0??000? (1.31)
000?000??J??也可表为
J????i?E???E??? ?1.32?
式中E??是除矩阵元??,??为1之外，其余为0的矩阵．可见，J??是三度空间角动量矩阵的四度时空推广．J??满足对易关系：
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?J??,J?????i?J??????J??????J??????J?????? ?1.33?
1?ijkJk， Ki?J4i ?1.34? 2式中
若令 Ji??ijk??1若ijk是1,2,3的一个偶排列???0其它情况 ???1若ijk是1,2,3的一个奇排列则有对易关系：
Ji,Jj?i?ijkJkijijk?? ?J,K??i?K?K,K???i?Jkijijk ?1.35?
k
3．有限变换
对于无穷小变换
i???s??i A????1????s???e22若作连续的有限多次N的无穷小变换，即
A?b??A???A???A???A??????A?????
N称有限变换。令：
b???N????
??ib?i?由于 A?b???1????s?????1????s???
?2??2N?NNx??依公式： lim?1???ex
N???N?有
1i???e2b??s?? A?b??lim?1?b??s???N???N2?即有限变换的生成元s??与无穷小变换的生成元相同，只是结构常数不同。因而有限变换的性质可用无穷小变换作研究，这给处理问题带来方便。
4.场量的变换
?设场物理量由?(x,t)描述，当时空作Lorentz变换时，
X??AX
NNi场函数也可能改变，设场量的变换矩阵为?(A).
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即
??(x?,t?)??(A)?(x,t) (1.36)
?(A)依赖于变换矩阵A。对于无穷小变换
iA?1????s??
2??可将?(A)按???展开
?(A)?1???????2?????(???)?????
????0略去高阶无穷小，?可表示为
i?(A)?1????????
2场量的改变是
??(x)???(x?)??(x)??????????(x)
场量的改变也可表为
i2??(x)??'(x')??(x')??(x')??(x)??????x? (1.37)
式中
???(x)??'(x)??(x) (1.38a)
?x?(x)??(x')??(x)????(x)?x (1.38b)
???脚标?表示坐标不变，场函数改变(在某点场函数的变化)，?x?脚标x表示
场函数不变，坐标改变。将???定义为场的主动变换，它着重于场量?(x)的泛函变化。
从(1.37)及(1.38b)知，主动变换可表为
???????????x? (1.39)
由于 X??AX 或x??x??x 有 x?A?1x??A?1(x??x)?A?1x??x 则
??(x?)???(x)???(A?1x?)
即
??(x)???(A?1x)???(x??x)??[?(x)???(x)?x?] ?x?14
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结合(1.38)式，主动变换可表为：
???(x)??[?(x)??????x?]??(x,t) （1.40）
它与场的变换算子有关，不同的场的主动变换因场变换算子?不同而异。
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