B.足球初速度的大小v0＝C.足球末速度的大小v＝
gL22?＋s? 2h4
gL22
?＋s?＋4gh 2h4
L 2sD.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tanθ＝答案 B
解析 足球位移大小为x＝1
h＝gt2，2
20
??＋s＋h＝2
L222
L24
＋s＋h，A错误；根据平抛运动规律有：
22
L24
＋s＝v0t，解得v0＝
2
gL221212
?＋s?，B正确；根据动能定理mgh＝mv－mv0可2h422
得v＝v＋2gh＝gL22
?＋s?＋2gh，C错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tanθ2h4
s2s＝＝，D错误. LL2
2.(多选)在如图7所示的平面直角坐标系中，A、B、C三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是( )
图7
A.若A、B、C同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足vC>vB>vA B.若A、B能在地面相遇，则A、B在空中运动的时间之比为2∶1 C.若A、C在(x0,0)相遇，则一定满足vA＝vC
D.只要B、C同时开始做平抛运动，二者绝不可能在空中相遇 答案 CD
命题点二 与斜面有关的平抛运动问题 1.从斜面上平抛(如图8)
图8
已知位移方向，方法：分解位移
x＝v0t
6
y＝gt2
tanθ＝
2v0tanθ
可求得t＝
12
yxg2.对着斜面平抛(如图9)
图9
已知速度的大小或方向，方法：分解速度
vx＝v0 vy＝gt
tanθ＝＝可求得t＝
v0v0
vygtv0gtanθ
例2 如图10所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3s落到斜坡上的A点.已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg，不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s).求：
2
图10
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.
经过3s落到斜坡上的A点.
答案 (1)75m (2)20m/s (3)1.5s
解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
Lsin37°＝gt2， L＝
12
＝75m.
2sin37°
7
gt2
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有
Lcos37°＝v0t，
即v0＝
Lcos37°
＝20m/s. t(3)解法一 运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos37°、加速度为gsin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin37°、加速度为
gcos37°).
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin37°＝gcos37°·t，解得t＝1.5s
解法二 当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有＝tan37°，t＝1.5s.
gtv0
平抛运动的分解方法与技巧
1.如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. 2.如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. 3.两种分解方法：
(1)沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； (2)沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动.
3.如图11所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)( )
图11
2v0tanθ
A.v0tanθB.C.
v0gtanθ
gD.2v0
gtanθ
答案 D
解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，
8
x122v0
所以有tanθ＝，而x＝v0t，y＝gt，解得t＝.
y2gtanθ
4.(多选)如图12所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断( )
图12
A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1 C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1 D.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 答案 BC
解析 由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球在竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tanα＝2tanθ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tanα＝，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D项错误. 命题点三 平抛运动中的临界问题
例3 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图13所示.P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
gtv0
图13
9
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围.
水平向右，初速度不同.
答案 (1)3hL (2)g2
g≤v≤Lhg 2h312
解析 (1)打在AB中点的微粒，则h＝gt
22解得t＝3h
g(2)设打在B点的微粒初速度为v1，则
L1v1＝，2h＝gt21
t12
解得v1＝
2
Lg h同理，设打在A点的微粒初速度为v2，则
v2＝Lg 2h所以微粒初速度范围为
L2g≤v≤Lhg. 2h
极限分析法在临界问题中的应用
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件.
5.(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图14所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
10