《高等代数》试题11
一、选择题（每题3分，共12分）
1、下列集合有（ ）个不是R的子空间；
w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；
（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法中不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；
（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；
（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关； 以上说法中不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；
（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；
（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分） 1、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。
2、设{?1,?2，?，?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?n，?n?1?，?1} 的过渡矩阵为___________________。
n?11?1???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?12?3?，
?12?2???
???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。
080000310??0?的特征值是____________。 ?4?3???7??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。
6、二次型f(x,y,z)?x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是______________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）
1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?2x?1在该基下的坐标。
2?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。
?4??223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x2x3?4x1x2化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3正定。 四、证明题（每小题10，共20分）
1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)?的特征多项式的根都在C内；(ii)对于?的特征多项式的每一根?，本征子空间V?的维数等于?的重数。证明?可以对角化 2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是对称变换，且?是单位变换。证明?是正交变换。
《高等代数》试题12 一、选择题：（3?3=9分）
1 、A，B，C是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ ）
（A） ACB = I （B） BAC = I （C） CAB = I （D） CBA = I 2、设
。 ?为任意非零向量，则?（ ）
2222(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关
3、设向量组I（?1,?2,??r），II（?1,?2,??r,?r?1,?,?s）则必有（ ）。 (A)I无关?II无关 (B ) II无关?I无关
(C) I无关?II相关 (D) II相关?I相关
二、填空：（3?4?12分）
1、单个向量?线性无关的充要条件是______________________________。
2、A是n?n矩阵，对任何bn?1矩阵，方程AX=b都有解的充要条件是________________________________________________。
3、叙述替换定理______________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________。
x34、f(x)?21三、计算题：
1x3221x332, 则f(4)=__________________________ 1x?11?1??1?11?????110?（9分）
21、 解矩阵方程X02??????1?10????211????1?(1,0,?1)?32、 R中的两向量组??2?(2,1,1) ，
???(1,1,1)?3（i） （ii） （iii）
证明它们都是R的基，
并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，
如果?在基{?1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2）， 求?在基{?1,?2,?3}下的坐标。（15分）
3??1?(0,1,1)???2?(?1,1,0) ???(1,2,1)?31?a113、 计算行列式Dn??111?11 （a1a2?an?0）（9分） ?1?a21????11?1?an4、 求线性齐次方程组的基础解系
?2x1?2x2?x3?x5?0??x?x?2x?3x?x?0?12345（10分） ?x?x?2x?x?01235??x3?x4?x5?0?5、 已知向量组（I）?1,?2,?3,(II) 四、证明题：
1、 证明向量?1,?2,??r（r?2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。（10分）
：?1,?2,?3,?5??4的秩为4。（5分） ?1,?2,?3,?4,(III) ?1,?2,?3,?5.若各向量组的秩分别为r (I) = r (II) = 3 , r (III) = 4 ,证明向量组（IV）
2、设W1，W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1+ W2也是V的一个子空间。（7分）
3、设在向量组?1,?2,??r中，?1?0并且每一?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,??i?1的线性组合，证明?1,?2,??r线性无关。（7分） 4、设向量?可由向量组?1,?2,??s线性表示，证明表法唯一的充要条件是?1,?2,??s线性无关。（7分）
《高等代数》试题13
一、选择题：（3?3=9分）
1、A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ） （A） AB?0?A?0且B?0 （B） |A|=0?A?0 (C) |AB|=0?|A|?0或|B|?0 (D) A?I?|A|?1 2、若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）
(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关
3、n维向量组?1,?2,?,?s (3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ ） （A） 存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0 （B）?1,?2,?,?s中任意两个向量组都线性无关
（C）?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 （D）?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 二填空：（3?4?12分）
0000x0002x01、003x00??15 ，x = _____________________
04500000002、已知向量组?1?(1,0,1),?2?(2,2,3),?3?(1,3,t)线性无关，则 t = __________________________
3、向量组{?1,?2,?,?n}的极大无关组的定义是___________________________
x34、f(x)?21三、计算题
1x3221x332, 则f(4)=____________________________ 1x?11?1??1?11???X??110?（9分）
26、 解矩阵方程02???????1?10???211??
10?00a1?1?000a21?a2?0000??000??1000 (9分) ?an1?an?11?a12、计算行列式
a3???00??1?an?1??1?(1,0,?1)?33、R中的两向量组??2?(2,1,1) ，
???(1,1,1)?33??1?(0,1,1)???2?(?1,1,0) ???(1,2,1)?3（i）证明它们都是R的基， (ii) 求第一个基到第二个基的过渡矩阵， (iii) 如果?在基{?1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2），
求?在基{?1,?2,?3}下的坐标。（14分）
?x1?x2?x3?4x4?3x5?0?2x?x?3x?5x?5x?0?123454、 线性齐次方程组的基础解系 ?（10分）
x?x?3x?2x?x?02345?1??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0四、证明题
1、设?,?,?线性无关，证明???,???,???也线性无关。（8分）
2、设W1，W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1? W2也是V的一个子空间。（7分）
3、（维数定理）设W1和W2都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么W1+W2也是有限维的，并且
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2--dim(W1?W2)（12分） 4、设向量组{?1,?2,?,?n}线性无关，且?k??b?kii?1ni (k?1,2,?,n)
b11证明?1，?2，?，?n线性无关的一个充要条件是
b12?b1nb21?bn1b22?b2n?0（9分）
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