1、a,b应该满足什么条件，有理系数多项式x?3ax?b才能有重因式。 2、求多项式x?x?6x?14x?11x?3的有理根。
54323?122???/3、设A?212 ，求一个正交矩阵T，使TAT是对角
????221??矩阵。 4、
将二次型
2化为规范形，并指出所用的线性变换。 f(x1,x2,x3)?2x12?2x1x2?4x1x3?6x2x3?x3五、 证明题（8+12=20分）
1、（f，g）= 1，证明（fg，f + g）= 1 。
2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果?满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）?是正交变换，（ii）?是对称变换，（iii）?六、证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。（6分）
《高等代数》试题17
一、选择题（每题3分，共12分）
1、下列集合有（ ）个不是R的子空间；
w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；
（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法中不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；
（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；
（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关；
n2?I是单位变换。
以上说法中不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；
（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；
（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法不正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分） 2、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。
2、设{?1,?2，?，?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?n，?n?1?，?1} 的过渡矩阵为___________________。
?11?1???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?12?3?，
?12?2???
???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。
080000310??0?的特征值是____________。 ?4?3???7??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。
6、二次型f(x,y,z)?x?y?z?xy?xz?yz的矩阵是______________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）
1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?2x?1在该基下的坐标。
2222?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。
?4??223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x2x3?4x1x2化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3正定。 四、证明题（每小题10，共20分）
1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)?的特征多项式的根都在C内；(ii)对于?的特征多项式的每一根?，本征子空间V?的维数等于?的重数。证明?可以对角化
2222、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是对称变换，且?是单位变换。证明?是正交变换。
《高等代数》试题18
一、选择题（每题3分，共12分） 1、下列集合有（ ）个是R的子空间；
w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；
（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；
（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；
（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关； 以上说法中正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；
（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；
（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分）
1、复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。
n22、设{?1,?2,??n}是向量空间V的一个基，由该基到{?2，?，?n，?1} 的过渡矩阵为___________________。
?111???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?123?，
?12?3???
???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。
030000410??0?的特征值是____________。 6??3??2?2??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。
6、二次型f(x,y,z)??x?y?z?xy?xz?yz的矩阵是____________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）
1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?x?1在该基下的坐标。
2222?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。
?4??2223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?4x1?3x2?2x2x3?3x3化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3 正定。 四、证明题（每小题10，共20分）
1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果?1，?2，?，?n 分别是?的属于互不相同的本征值?1，?2，?，?n的本征向量，证明?1，?2，?，?n线性无关。 2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是正交变换又是对称变换，证明?是单位变换。
《高等代数》试题19
一、选择题（每小题 3 分，共15分）
1、设A,B均为n阶矩阵，则正确的为 （ ）
A det(A?B)?detA?detB B AB?BA
222C det(AB)?det(BA) D (A?B)?A?2AB?B
22222、设A*为n阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是=（ ）
A (A*)*?|A|n?1A B (A*)*?|A|n?1A C (A*)*?|A|n?2A D (A*)*?|A|n?2A
3、设n阶方阵A满足A2?2A?0，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A. A-2I B. A-I C. A+I D. A
4、设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解。
A m?n B A的秩等于n C m?n D A的秩等于m 5、如果矩阵rankA?r,则 （ ）
A 至多有一个r阶子式不为零 B 所有r阶子式都不为零
C 所有r?1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零 D 所有低于r阶子式都不为零 二、填空题（每小题 3 分，共15 分）
12a1、设行列式203中，余子式A21?3，则a＝__________
3692、若9元排列1274i56k9是奇排列，则i=_____,k=_______
?1?11??101?????23?B??020?，则(AB)'＝_____________ 3、设A??1??102??101?????4、设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x?a)(x?b)所得的余式为=____ 5、设f(x)?R[x]使得degf(x)?3且f(1)?1,f(-1)?2,f(2)?0,则f(x)=_________ 三、 计算题（共60分）
1． （10分）求n阶行列式
x1?1D?x1x1x2x2?1x2xnxnxn?1
2、（10分）已知f(x)?x4?2x3?x2?4x?2,g(x)?x4?x3?x2?2x?2，求u(x),v(x),使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?(f(x),g(x))