试卷类别
A卷 B卷 模拟√
班级
姓名
成绩
使用学期
任课教师 韩世勤
教研室主任 审核签字
中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制 考试课程名称：高等代数模拟试题（2）答案 学时： 60
考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7),则向量α1?α2?α3?α4?（-2，-2，-2，-2 ） 。 5200（2）设四阶行列式A?2100001?2，则A的值为 3 。 0011（3）设n阶方阵A的各行元素之和均为1，X1,X2,?Xn?r为线性方程组AX?0的一个基础解系，则线性方程组AX?b（其中列向量b?(1，1，?，1)'）的通解为 c1X1?c2X2???cn?rXn?r?b 。 （4）设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有n?r为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 r,n?r 。 ?（5）设行矩阵A?(a,b,c)，则AA'?a2?b2?c2 。A'A??a2abac???abb2bc?? 。 ?acbcc2??二 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） （A）(AB)'?A'B' ； (B) (AB)?1?A?1B?1； (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。 （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ A ） (A) |A*|?|A|n?1； (B) |A*|?|A|n?1； (C) |A*|?|A|n?2； (D) |A*|?|A|n?2。 （3） 设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ） (A) A的3个列向量必线性无关； (B) A的3个列向量必线性相关； (C) A的秩为2； (D) A的行列式为零。 （4）设f(x),g(x)为两个多项式，而且满足f(x)|g(x)和g(x)|f(x)，则（ D ） （A）f(x)?g(x)； (B) f(x)?[g(x)]?1； (C ) f(x)?2g(x)； (D) f(x)?cg(x) ，c为非零常数。 （5）设V?{X?(x1,x2,?,xn)|x1?x2???xn?0},则下列结论正确的是（ C ） (A) V?{O}； (B) V的维数是n； (C) V是子空间； (D) V 不是子空间。 ??x1?x3?x4??3三 (10分)解线性方程组??2x1?x2?4x3?3x4??4?3x1?x 2?x3?1??7x1?7x3?3x4?3解：此方程组的增广矩阵为 ??101?1?3??1B??2?14?3?4??12???01?1?3??0?12???31101????707?33????01?2310? ??00424??0????101?1?3??10103???01?21?2?????00016???01?20?8???00016? ??00000??????00000???由于A的秩等于B的秩，都为3，因此该方程组有解。对应齐次线性方程组的基础解系为ξ?(?1,2,1,0)'，而容易求得该方程的一个解α?(3,?8,0,6)'，所以该方程组的通解为 ??kξ?α?k(?1,2,1,0)'?(3,?8,0,6)'。
?110?
四、(10分)已知矩阵A???011??，且A2?AB?E，其中E为三阶单位矩阵，求矩阵??00?1??B。 ?1?1?1?解：由A2?AB?E可得B?A?A?1，而A?1???011???，所以有 ?00?1???110??1?1 B???011?????1??011??021???=??000?? ?00?1????00?1????000??103100204100五、(10分)计算行列式A?199200395200301300600300的值。 402400799401解：根据行列式的性质有 103100204100310040A?199200395200?1200?50301300600300?1300004024007994012400?1131403140?100?12?50?12?501300?1001300? 24?110001?100(?8?45?5?12)?2000.六、(10分) 设n阶对称矩阵A正定，证明A*也是正定矩阵，其中A*表示A的伴随矩阵。 证明：因为n阶对称矩阵A正定，所以|A|?0,A'?A，并对任意的非零列向量X，恒有X'AX?0，从而 X'A*X?X'|A|A?1X?(|A|X')A?1(|A|X)?Y'A?1Y?(A?1Y)'A(A?1Y)?0 由此说明, A的伴随矩阵A*也是正定矩阵。 七、（10分）已知二次型f(x?2x2221,x2,x3)1?x2?5x3?4x2x3，通过合同变换化为规范型，并求出所需的变换矩阵。 ?200?解：二次形的矩阵A???012??，利用初等变换 ??025????200??100?100??012????010?????010???A???025?021?001????E?????2?100??????00??????2?010??021?2?200?? ????01?2??001??????001????001?????200??2?因此在变换X??01?2?Y下，原二次型变换为规范型 ??001???f(x?x2222?y21,x2,x3)?2x212?5x3?4x2x3?y1?y23 ?122?八、（10分）设矩阵A???212??，求它的特征值和特征向量。 ??221?? 解：请参考教材293页例2。
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B卷 模拟√
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使用学期
任课教师 韩世勤
教研室主任 审核签字
中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制 考试课程名称：高等代数模拟试题（3）答案 学时： 60
考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7)则该向量组的一个极大线性无关组是α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5) 。 5200（2）设四阶行列式A?2100121?2，则A的值是 3 。 1211（3）设A为n阶正交矩阵，则A的特征值是 1 或 -1 。 （4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的伴随矩阵A*=0n。 （5）若n阶矩阵A满足A2?0，则方程AX?X的解X＝ 0 。 二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）设x???x1??11?,则二次型?x?,A??1??f?xTAx等于（ D ） 2??1 (A) x2?x222212; (B) x1?x1x2?x2; (C) x1?x2; (D) (x1?x2). （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ C ） (A) A*?|A|A； (B) A*?|A|2A； (C) A*?|A|A?1； (D) A*?|A|2A?1。 ?（3）线性方程组?x1?x2?a1??x2?x3?a2有解的充分必要条件是（ B ） ?x3?x4?a3??x4?x1?a4 (A) a1?a2?a3?a4?0; (B) a1?a2?a3?a4?0; (C) a1?a2?a3?a4?0; (D) a1?a2?a3?a4?0. （4）设n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ B ） (A) 充分必要条件； (B) 充分而非必要条件； (C) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。 （5）已知向量组?1,?2,?3线性无关,向量组?2,?3,?4线性相关,则（ D ） (A) ?1一定可由?2,?3,?4线性表示； (B) ?2一定可由?1,?3,?4线性表示； (C) ?3一定可由?1,?2,?4线性表示； (D) ?4一定可由?1,?2,?3线性表示； xaaa三、(10分)计算行列式axaaaaxa. aaaxr1?r2x?3ax?3ax?3ax?3a解：Dr1?r3axaar1?r4aaxa aaax1111r1?(x?3a)(x?3a)axaaaaxaaaaxc2?c11000=c3?c1a00ca)x?a4?c(x?31a0x?a0 a00x?a(x?3a)(x?a)3. ?11?1? 四、(10分) 已知A????111??,A*是A的伴随矩阵,且A*X?A?1?2X,求矩阵X. ??1?11??解：由已知条件得 (A??2E)X?A?1,(AA??2A)X?E,(AE?2A)X?E, X?(AE?2A)?1. 由于 11?1A??111?4 1?11所以 ?1?11?AE?2A?2??11?1?? ???111??所以 ?1?11?1X?1???2?11?1?1??110??????111??4?011? ??101????10?12?五、(10分) 求矩阵A??2111????0010?的逆矩阵A?1. ??00?11???解：利用初等变换 ??10?121000??1000??21110100?10?12???013100????00100010???3?2?0010010? ??00?110001???0???00010011?????1000101?2???0100?21?33????00100010? ??00010011???所以 ??101?2?A?1???21?33????0010? ??0011??? 六、(10分) 设A是可逆实矩阵,证明ATA是正定矩阵. 证明：由(ATA)T?ATA知，ATA是对称矩阵．又?x?0,Ax?0，由于 xT(ATA)x?(Ax)T(Ax)?Ax2?0， 所以ATA是正定矩阵。（其中AT表示矩阵A的转置） 七、（10分）设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为p1?(1,1,1)T,求A. 解：根据已知条件，3对应的特征向量x?(x1x2xT3)满足 x1?x2?x3?0 得 ?x1x????x???x??1?????1???2?2?1??x?x3?????30?0???1? ??所以，3对应的特征向量为 ??1?p???1???,p??1??23??0? ??0????1??令 ??1???1/2b??[p,b]???2??1?? b3?p3?32?0??[bb2???1/22,b2]??1? ??进行标准化 ?1/3???1/2??1/6e?p1????b?|p|???1/3?,eb2?3?12=??1/2?,e3=?????1/3??|b2|????0??|b1/6? 13|??????2/6??令 ?1/3?1/21/6?P?(e1e2e?3)???1/31/21/6????1/30?2/6? ??
则有 ?P?1AP??600??030??? ?003??或 ?600?A?P?00??6?030??30???P?1?P?0?003????03?PT0?? ?1/3?1/21/6??600??1/31/31/3??????1/31/21/6???0?????1/21/20?411?????141?? ??1/30?2/6??03????003?????1/61/6?2/6?????114?? 八、（10分）设f(x)?x4?3x3?6x2?ax?b，g(x)?x2?1，a与b是什么数时，f(x)能被g(x)整除？ 解：方法一、利用辗转相除法，得余式： r(x)?(a?3)x?b?7， 由已知， a?3,b??7 方法二、由于f(x)能被g(x)整除，而g(x)?x2?1的零点为1和-1，所以1和-1也应是f(x)的零点，即 f(1)?4?a?b?0 和 f(?1)?10?a?b?0 解之即得 a?3,b??7。