《高等代数》试题14
一、填空题（每小题3分，共15分）
??11．设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AA?)? ，A的伴随矩阵A的行列式det(A?)? 。
2．多项式f(x)?x4?x3?3x2?4x?1与g(x)?x3?x2?x?1的最大公因式(f(x),g(x))? 。
1?13．设A?1?20131?12，则A14?A24?A34?A44? 。
1?102144．把f(x)?x4?5表成x?1的多项式是 。
?x1?x2?a1?5．方程组?x2?x3?a2有解的充要条件是 。
?x?x?a13?3二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A为四阶行列式，且A??2，则AA?（ ） （A）4 （B）2 （C）?2 （D）8
2．设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，k为任意常数，且k?0， 则必有(kA)n55?1?（ ）
n?1（A）kA （B）k（C）kA （D）
?1?1A?1
1?1A k3．下列对于多项式的结论不正确的是（ ） （A）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) （B）如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x)) （C）如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x) （D）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
4．对于非齐次线性方程组AX=B其中A?(aij)nn,B?(bi)n1,X?(xj)n1，则以下结论不正确的是（ ） （A） 若方程组无解，则系数行列式A?0。 （B） 若方程组有解，则系数行列式A?0。 （C） 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解。 （D） 系数行列式A?0是方程组有惟一解的充分必要条件。 5．设A?1(B?I)，则A2?A的充要条件是（ ） 2（A）B=I （B）B??I （C）B2?I （D）B2??I 三、解下列各题（40分） 1．计算下列行列式
a011?111a10?00(1)D10a2?00n??????? 100?an?10100?0anxa?a(2)Dax?an?????
aa?x2．求f(x)?3x4?8x3?6x2?3x?2的有理根。3．讨论a取何值时，方程组有解，并求解。
??ax1?x2?x3?a?3?x?1?ax2?x3??2 ?x1?x2?ax3??2?4．求解矩阵方程?10?1??2?3?042?1??X?????110??1?10????211??四、证明下列各题（30分）
1．设a,b,c,d?F，且ad?bc?0，对于任意的f(x),g(x)?F[x]，则有
(f(x),g(x))?(af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x))
2．令A?是n（n≥2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证：detA??(detA)n?1 3．设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC=CA，证明：
ABCD?AD?CB
4．已知方阵A满足A2?2A?I?0，试证：A可逆，并求出A?1。
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．把f(x)?2x3?x2?3x?5表成x?1的多项式是 。10132．设A??11?1211?10，则A41?A42?A43?A44? 。
?22143．设A?12(B?I)，则A2?A的充要条件是 。 4．a ,b满足 条件时，实系数多项式f(x)?x3?ax?b有重因式。?x1?x5．方程组?2?x3?a1??x1?x2?x3?x4?a2有解的充要条件是 。
???2x2?2x3?x4?a3二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A为n阶方阵，k为非零常数，则det(kA)?（ ） （A）k(detA) （B）kdetA
（C）kndetA （D）kndetA
?bx1?ax2??2ab2．设线性方程组???2cx2?3bx3?bc，则（ ）
??cx1?ax3?015
《高等代数》试题
（A）当a,b,c取任意实数时，方程组均有解。 （B）当a?0时，方程组无解。 （C）当b?0时，方程组无解。 （D）当c?0时，方程组无解。
3．设A为3阶方阵，A1,A2,A3为按列划分的三个子块，则下列千万行列式中与A等值的是（ ） （A）A1?A2A2?A3A3?A1 （B）A1A1?A2（C）A1?A2A1?A2A3 （D）2A3?A1A14．设A、B为n阶方阵，则有（ ） （A）A，B可逆，则A+B可逆 （B）A，B不可逆，则A+B不可逆 （C）A可逆，B不可逆，则A+B不可逆 （D）A可逆，B不可逆，则AB不可逆 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ） （A）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
（B）如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x)) （C）如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x) （D）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) 三、解下列各题（40分） 1．计算下列行列式
xy0?000xy?00（1）Dn???????
000?xyy00?0xa1?ma2?an（2）
a1a2?m?an????
a1a2?an?m2．讨论a取什么值时，方程组有解，并求解。
A1?A2?A3 A1?A3
??x1?(a2?1)x2?2x3?a?ax?1?ax2?(2a?1)x3?0 ?x1?(2a?1)x2?2x3?2?11?1??13．求解矩阵方程X??11??022???110????? ?1?10????211??4．求f(x)?x5?x4?52x3?2x2?12x?3的有理根。 四、证明下列各题（30分）
1．令A?是n（n>2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证： （1）detA??(detA)n?1
（2）(A?)??(detA)n?2A
2．设(f(x),g(x))?1，则(f(x),g(x)h(x))?(f(x),h(x))。
3．设A，B均为n阶方阵，证明：ABBA?A?B?A?B
《高等代数》试题16
一、 填空题（3?3=9分）
1、 A相似于单位阵，A = ______________。 2、 设A为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 |A| =__________________。
3、
当t满足条件____________________，使二次型f?x22x221?2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定的。
二、 判断题（1?5=5分） 1、若
?1,?2是方程(A??I)X?0的一个基础解系，则k1?1?k2?2是A的属于?的全部特征向量，其中k1,k2是全不为零的常数。 2、A、B有相同的特征值，则A与B相似。 （ ）
3、若f（x）无有理根，则f（x）在Q上不可约。（ ） 4、两个本原多项式的和仍是本原多项式。 （ ） 5、对于整系数多项式f（x），若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f（x）不可约。 （ ） 三、 证明定理（10?2=20分） nn1、n个变量的二次型q(x1,x2,?,xn)???aijxixj的一切主子式都大于零，则q(x1,x2,?,xn)是正定的。
i?1j?12、令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果?1,?2,?,?n分别是?的属于互不相同的本征值?1,?2,??n的本征向量，那么?1,?2,?,?n线性无关。四、 计算题（10?4=40分）
） （