考试名称： 高等代数模拟试题（4）答案 （高起专/专升本）考试方式： 闭卷 学时：60 考试时间：120 分钟 总分：100
试卷共 页，请将所有答案写在答题纸相应位置上，答在试卷上不得分
（1）如果(x?1)2|Ax4?Bx2?1，则A，B各为 1，-2 。
四、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）
?5??2（2）设四阶方阵A??0??0?210000?00??1?2???00??2500???1A，则的逆阵。 A????1?2001/32/3?????11?0?1/31/3??0?52（3）设四阶行列式A?0021000000，则A的值为 3 。
1?211（4）设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有n?r为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 r,n?r 。
?a2abac???2222bc? （5）设行矩阵A?(a,b,c)，则AA'?a?b?c 。A'A??abb?acbcc2???（1）下列运算中正确的是（ D ）
五、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。
（2）设A是m?n矩阵，AX?O是非齐次线性方程组AX?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）
(A) 若AX?O仅有零解，则AX?b有唯一解； (B) 若AX?O有非零解，则AX?b有无穷多个解； (C) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O仅有零解； (D) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O有非零解； （3）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A是A的伴随矩阵，则（ A ）
(A) |A|?|A|(C) |A|?|A|**n?1(A) (AB)T?ATBT ； (B) (AB)?1?A?1B?1；
*
； (B) |A|?|A|**n?1； 。
n?2； (D) |A|?|A|n?2（4） 设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ）
(A) A的3个列向量必线性无关； (B) A的3个列向量必线性相关； (C) A的秩为2； (D) A的行列式为零。 （5）设V?{X?(x1,x2,?,xn)|x1?x2???xn?0},则下列结论正确的是（ C ）
(A) V?{O}； (B) V的维数是n； (C) V是子空间； (D) V 不是子空间。
?2x1?x2?4x3?3x4??4?x?x3?x4??3?1三、(10分)解线性方程组?
3x?x?x?1123???7x3?3x4?3?7x1?2x1?x2?4x3?3x4??4?x?x3?x4??3?1解：由? 得
3x?x?x?1123???7x3?3x4?3?7x1?x3?x4??3?x1?x2?2x3?3x4?10?进而有 ?2x4?12??4x4?24???x?1?????x2?2x3?x4?2?x3?x4??3x2?2x3?3x4?104x4?24
?x1??c?3?x?2c?8?2解之得?
?x3?c??x4?6?110???2A?011四、(10分)已知矩阵??，且A?AB?E，其中E为三阶单位矩阵，求矩阵B。
?00?1????1?1?1????12?11?，所以有 解：由A?AB?E可得B?A?A，而A??01?00?1????110??1?1?1??021???????1?=?000? B??011?-?01?00?1??00?1??000???????
五、(8分) 设n阶方阵A满足条件AA?E，其中A是A的转置矩阵，E为单位矩阵。 证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。
证明：因为n阶方阵A满足条件AA?E，所以矩阵A是正交矩阵，即ATT?1TT?AT
由于 |A??E|?|A??E|?0，所以A与A有相同的特征值。
T又 |A??E|?0， 所以 |A因此有 ?
?1?1?1?E|?0， 即A?1与A的特征值互为倒数。
??， 即?2?1，或者|?|?1
103199六、(8分)计算行列式A?301402解：根据行列式的性质有
100200300400100200?3004012043956007993?112100200的值。 3004011004200?53000400?100?010001103199A?3014023?1?10012
100200300400204395600799142?5304?1030?1?1000110142?53000
?100(?8?45?5?12)?2000.222222七、（8分）已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1，求参数a，并判断该二次型是否为正定二次型。 ?3x2?3x3?2ax2x3，(a?0)通过正交变换化为标准型f?y1?2y2?5y3?200???2解：二次型的矩阵A??03a?，所以 |A|?2(9?a)，
?0a3???而 |A|??1?2?3?10， 因此有
|A|?2(9?a2)?10，解之得 a?2。
由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。
八、(8分) 设A是可逆实矩阵,证明AA是正定矩阵.
TTT证明：由(AA)?AA知，AA是对称矩阵．又?x?0,Ax?0，由于
TTxT(ATA)x?(Ax)T(Ax)?Ax所以AA是正定矩阵。（其中A表示矩阵A的转置）
T2?0，
T232九、(8分) 假设g(x)?x?4x?a，如果存在唯一的多项式f(x)?x?bx?cx?d，使得g(x)f(x)，且f(x)g(x)，试求f(x)的表示式．
22解：设 g(x)?x?4x?=a(x?x1)(x?x2)，由于g(x)f(x)，所以可设
f(x)?x3?bx2?cx?d=(x?x1)(x?x2)(x?x3)
2又由于 f(x)g (x，所以)f(x)?(x?x1)2(x?x2) 或者 f(x)?(x?x1)(x?x2)2
再由函数f(x)的唯一性可知，必有x1?x2，即g(x)?(x?x1)2，x1?2，因此有
f(x)?(x?2)3