第一章 计数原理
一．学习目标
1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二．知识网络
排列概念 排列 排列数公式 应用 组合概念 组合 排列组合 二项式定理 二项式定理 组合数公式 组合数性质
两个计数原理
通项公式 应用 二项式系数性质
第一课 两个原理
一．知识梳理
1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法． 二．基础自测
1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？
（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
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（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种. (2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有 3×13=39种方法.
(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法. 2.（09重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
解：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有
C4?C2?C1A22211;第
二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有
C4?C2?C1A22211?A3?36
33.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种.
答案 180
4.（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 112解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法;
211 (2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.
故共有345种选法.
5.（09浙江卷）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
3解:对于7个台阶上每一个只站一人，则有A7种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，
则共有C3A7种，因此共有不同的站法种数是336种． 三．典例剖析
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12例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.
方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.
练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法? 解 当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法. 当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法. 当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法. ??
当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,?,20,10种取法. 当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,?,20,9种取法. ??
当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.
由分类计数原理可得共有1+2+3+?+10+9+8+?+1=100种取法.
例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?
解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法.
根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36. （2）确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法； 第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法. 由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.
（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个. 由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.
练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？
解 先分三步选号，再计算总钱数. 按号段选号，分成三步.
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第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法； 第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法； 第三步从30至36中选1个号，有7种选法. 由分步计数原理可知，满足要求的号共有 15×10×7=1 050(注),
故至少要花1 050×2=2 100(元).
例3 （16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解 （1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法； 第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；
第四类，从四班学生中选1人，有10种选法. 所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. 4分 （2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法
N=7×8×9×10=5 040（种）.
8分
（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，
14分
所以共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）. 织学生到某厂进行社会实践活动.
（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 解 （1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.
（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.
（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同
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16分
练习：3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组
方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.
四．自主检测 一．选择题
1．（09北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648
解：本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、
基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A92?9?8?72（个），
111 当0不排在末位时，有A4， ?A8?A8?4?8?8?256（个）
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72?256?328（个）.故选B. 2.（08·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 答案 12
3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
22解：解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排法），
剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法
22解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不
同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法； 第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时
共有6A2＝12种排法
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有6A2＝12种排法
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