① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
Cn?Cn,Cn?Cn0n1n?1,Cn?Cn2n?2,?,Cn?Cnrn?r.
② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：
第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于—————————，即————————————
④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
3．二项式定理主要有以下应用 ①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形
二，基础自测
1.在（1+x）n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n= . 答案 10
1Cnk?1:Cn??n?k?:?k?1?k2.在（a-2a3）n的展开式中，则下列说法错误的有 个. ①没有常数项
②当且仅当n=2时，展开式中有常数项 ③当且仅当n=5时，展开式中有常数项 ④当n=5k (k∈N*)时，展开式中有常数项 答案 3
nn-1n-rn13.若多项式C0+?+(-1)rCr+?+(-1)nCnn(x+1)n=a0x+a1xn-1+?+an-1x+an,n(x+1）-Cn(x+1)
2
则a0+a1+?+an-1+an= . 答案 1
4. （09浙江卷理）在二项式(x?21x)的展开式中，含x的项的系数是( ) 54A．?10 B．10 C．?5 D．5 解：对于Tr?1?C5(x)r25?r(?1x)???1?C5xrrr10?3r，对于10?3r?4,?r?2，则x的项
422的系数是C5(?1)?10
16
5. （09陕西卷文）若(1?2x)2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R),则的值为 。 解
:由题意容易发现a1?C2009(?2)??2?2009 , a2008?C2009(?2)则
a12??2009,a2008222008a12?a222???a2009220091120082008?(?2)2008?2009,
?2009,即=0,
a323a12+a12+a200822008=0,
同理可以得出
a22+a200722007a200622006=0………
a200922009亦即前2008项和为0, 则原式=三．典例剖析 例1 在二项式(
x
?a222???=
a200922009?C2009(?2)2200920092009??1.
+
124x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项
和二项式系数最大的项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，∴2·
n2n2，n（n-1），
81=1+n（n-1），
81解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
k∴Tk+1=C88?kx
2?1??4?2x????k=C2x
k8-k4-
34k
，
当4-k∈Z时，Tk+1为有理项，
43∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是 T1=x4，T5=
3581256x，T9=x-2.
∵n=8，∴展开式中共9项，
中间一项即第5项的二项式系数最大.T5=练习：1.在（3x-2y）20的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项.
解 （1）二项式系数最大的项是第11项，
17
358x.
T10101010101010
11=C10-2）xy=C10203（206xy.
（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，
??Cr?320?r?2r?Cr?1?319?r?2r?1于是?2020r20?rrr?，
??C20?3?2?C121?rr?120?3?2化简得(r?1)?2(20?r)??3，解得722?2(21?r)?3r5≤r≤85.
所以r=8,
即T9=C820312
·28
·x12y8
是系数绝对值最大的项.
（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是
??C2r?2?322?2r?22r?2?C2r?4?324?2r?22r?4?20202r?222?2r2r?22r，
??C20?3?2?C20?2r2r20?3?2化简得??10r2?143r?1077?0?.
??10r2?163r?924?0解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大.
T8128128
9=C20·3·2·xy.
例2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1
①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a7
4-a5+a6-a7=3
(1)∵a0=C07=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a1+a3+a?1?375+a7=
2=-1 094.
(3)(①+②)÷2, 得a0+a2+a4+a6=
?1?372=1 093.
(4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零, 而a1,a3,a5,a7都小于零,
18
②
∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), ∴由(2)、（3）即可得其值为2 187.
练习：2.求x(1-x)4
+x2
(1+2x)5
+x3
(1-3x)7
展开式中各项系数的和. 解 设x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7 =a0+a1x+a2x2+?+anxn 在原式中，令x=1,
则1×(1-1)4
+12
×(1+2)5
+13
×(1-3)7
=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 例3（1）已知n∈N*
,求证：1+2+22
+23
+?+2
5n-1
能被31整除；
（2）求0.9986
的近似值，使误差小于0.001. （1）证明 ∵1+2+22+23+?+25n-1 =
1?25nn1?2=25-1=32n-1=（31+1）n-1
=31n+C1n-1n-2?1n·31+C2n·31+?+Cnn·31+1-1 =31（31n-1+C131n-2+?+Cn?1n·n）显然括号内的数为正整数， 故原式能被31整除.
（2）解 ∵0.9986=（1-0.002）6
=1-C10.002）+C2336（6（0.002）2-C6（0.002）+?
第三项T3=15×(0.002)2=0.000 06＜0.001,以后各项更小, ∴0.9986≈1-0.012=0.988.
练习：3.求证:3n＞(n+2)·2n-1 （n∈N*，n＞2）. 证明 利用二项式定理3n
=(2+1)n
展开证明.
因为n∈N*，且n＞2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.
（2+1）n=2n+C1n-1n·2+?+Cn?1n·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1＞2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1, 故3n＞(n+2)·2n-1. 四．自主检测 一．选择题
1．（08安徽卷）设(1?x)8?a80?a1x???a8x,则a0,a1,?,a8中奇数的个数为（A．2
B．3 C．4 D．5
【答案】A
2.（09北京卷理）若(1?2)5?a?b2(a,b为有理数），则a?b?（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
19
）
【答案】C
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵
?1?2?5?C05?2?0?C15?2?1?C25?2?2?C35?2?3?C45?2?4?C55?2?5
?1?52?20?202?20?42?41?292，
由已知，得41?292?a?b2，∴a?b?41?29?70.故选C. 3.（08江西卷） (1?36x)(1?14x10)展开式中的常数项为 D
A．1 B．46 C．4245 D．4246 二、填空题 4.已知(x-ax)8展开式中常数项为1 120，其中实数a为常数，则展开式中各项系数的和
为 . 答案 1或3
5.若(1+5x)的展开式中各项系数之和是an,（2x+5)的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则
3ann?12
n
3
n
8
的值为 .
bn1答案
36.设m∈N*,n∈N*,若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展开式中x的系数为13，则x2的系数为 . 答案 31或40 三、解答题 7.已知(
x
+
2x2)n (n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开
式中系数最大的是第几项？
4
解 依题意，第5项的系数为C4n·2，
2第三项的系数为C2n·2，则有
2242?Cn?Cn24=
101，解得n=8.
设展开式中第r+1项的系数最大，则
?Cr?2r?Cr?1?2r?1,?88解得?rrr?1r?1??C8?2?C8?25≤r≤6.
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