（3）方法一 可分类求解：
4“只有男队长”的选法为C8；
4“只有女队长”的选法为C8；
3“男、女队长都入选”的选法为C8；
43所以共有2C8+C8=196种选法.
方法二 间接法：
5从10人中任选5人有C10种选法.
555其中不选队长的方法有C8种.所以“至少1名队长”的选法为C10-C8=196种. 12分
4（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有
4444C8种选法.其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时的选法共有C8-C5种
选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有
444C9+C8-C5=191种.
练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解 （1）只需从其他18人中选3人即可，
3共有C18=816（种）.
5（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C18=8 568（种）.
（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
43共有C12C18+C18=6 936（种）.
（4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；
4233241二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C1656（种）. 12C8+C12C8+C12C8+C12C8=14
方法二 （间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，
11
55得C520-（C8+C12)=14 656(种）.
例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由
212分步计数原理，共有C14C4C3×A2=144种.
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. （3）确定2个空盒有C24种方法.
124个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C34C1A2种方法；第二类有序均匀分组有
312故共有C24( C4C1A2+
C4C2A2222·A22种方法.
C4C2A2222·A22）=84种.
练习：3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.
2解 （1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C5种选法；对
123于余下的三本全选有C33种选法，由分步计数原理知有C6C5C3=60种选法.
（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因
23此共有C16C5C33A3=360种选法.
22（3）先分三步，则应是C6C2但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、4C2种选法，
B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，
22CD，EF），则C6C24C2种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、
12
3AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有A33种情况，而且这A3种情况仅是AB、
CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有
C6C4C2A33222C6C4C2A33222=15种.
222·A33= C6C4C2=90种.
四．自主检测 一．选择题
1.（08上海）组合数C（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）
A．答案 D
2. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1
门不相同的选法共有（ ）
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
rnr+1r-1r-1r-1nr-1
C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C
n-1n-1n+1n-1rn-1
222解：用间接法即可.C4?C4?C4?30种. 故选C
3.（09辽宁卷）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种
解：直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种
间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.
二、填空题
4.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有 种. 答案 10
5.平面?内有四个点，平面?内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体.（用数字作答） 答案 72 120
6．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ． 解：可以分情况讨论，
34① 甲去，则乙不去，有C6?A4=480种选法；
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②甲不去，乙去，有C63?A44=480种选法； ③甲、乙都不去，有A64=360种选法； 共有1320种不同的选派方案
三、解答题
7.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
解 可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，
2另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C3A24种方案；另一类1个
城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类计数
23原理可知共有C3A24+A4=60种方案.
8.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生； （2）两队长当选；
（3）至少有一名队长当选； （4）至多有两名女生当选.
4解 （1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（种）.
（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，
3故共有C22·C11=165（种）.
（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.
423故共有：C12·C11+C2·C11=825（种）.
55或采用间接法：C13-C11=825（种）.
（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.
2345故选法为C5·C8+C15·C8+C8=966（种）.
9.已知平面?∥?，在?内有4个点，在?内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
2解 （1）所作出的平面有三类：①?内1点，?内2点确定的平面，有C14·C6个；②
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?1内2点，?内1点确定的平面，有C24·C6个；③?，?本身.
221∴所作的平面最多有C14·C6+C4·C6+2=98（个）.
3（2）所作的三棱锥有三类：①?内1点，?内3点确定的三棱锥，有C14·C6个；②?2内2点，?内2点确定的三棱锥，有C24·C6个；?内3点，?内1点确定的三棱锥，
1有C34·C6个.
32231∴最多可作出的三棱锥有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（个）.
（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等, 且平面?∥?，∴体积不相同的三棱锥最多有
322C36+C4+C6·C4=114（个）.
10.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解 ∵前排中间3个座位不能坐， ∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.
12（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C12·A2种；
212（2）两人均在后排左右不相邻，共A12-A22·A11=A11种；
（3）两人均在前排，又分两类：
12①两人一左一右，共C14·C4·A2种；
12②两人同左同右，有2（A24-A3·A2）种.
综上可知，不同排法种数为
122112212C18·C12·A2+A11+C4·C4·A2+2（A4-A3·A2）=346种.
第三课 二项式定理
一．知识梳理
1．(a＋b)n＝ (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝ 是表示展开式的第r＋1项． 2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
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