（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y?2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
y E D C F O A B x
（第24题图）
【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过点A(2,0)，B(6,0)，C(0，23)．
?3?a??4a?2b?c?06?4∴??36a?6b?c?0， 解得?b??3. ?3??c?23??c?23??∴抛物线的解析式为：y?324x?3x?23. 63（2）易知抛物线的对称轴是x?4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙
D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=
1． 2∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ∴劣弧EF的长为：
12016???8??． 1803y P E N M C F O A D G B x
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点A(2,0),C(0,23).
∴??2k?b?0?b?23，解得???k??3.∴直线AC的解析式为：y??3x?23.
??b?23设点P(m,324m?3m?23)(m?0)，PG交直线AC于N， 63则点N坐标为(m,?3m?23).∵S?PNA:S?GNA?PN:GN. ∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=
3GN. 2即
3324m?3m?23=（?3m?23）.
263153243. m?3m?23=263解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，∴此时点P的坐标为(?3,153). ……………………………102分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即
324m?3m?23=（. 3?3m?23）63324m?3m?23=423. 63解得：m1??12，m2?2（舍去）.当m1??12时，∴此时点P的坐标为(?12,423). 综上所述，当点P坐标为(?3,153)或(?12,423)时， 2△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．
24．（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.
(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y?ax2?bx?c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM
【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30° 在△ABE中，AB＝6 BC=BE=
AB?43
cos30?CD=BCtan30°=4 ∴OD=OC-CD=2
∴B(43，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
43k?b?6b?2k? ∴ 33 b?2所以BD所在直线的函数解析式是y?3x?2 3(2)∵EF=EA=ABtan30°=23 ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60° 又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°=3 OG=OA-AE-GE=3 又H为FG中点 ∴H（3，
3） …………4分 2∵B(43，6) 、 D(0,2)、 H（3，
3）在抛物线y?ax2?bx?c图象上 21a?648a?43b?c?63 ∴ b?? c?233c?23a?3b?c?2∴抛物线的解析式是y?123x?x?2 63(2)∵MP=(313123x?2)?(x2?x?2)??x2?x 36363MN=6-(33x?2)?4?x 33122331x?x)?(4?x)??x2?3x?4 6336H=MP-MN=(?由?12x?3x?4?0得x1?23,x2?43 6该函数简图如图所示： 当0
25．（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x
轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时
S最小，并求出这个最小值.
．
【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线
2?a???3?c?2?4??的解析式为y?ax2?bx?c，则?4a?2b?c?2，解得：?b?，所以
3??9a?3b?c?0??c?2??24y??x2?x?2．
338224282（2）由y??x?x?2＝?(x?1)?，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，
3333382垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是
334△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF
3＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝
47，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝． 33（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，
11111BE?BF?BF2?(a2?2a?5)，又s?BFC?FC?MB??a?2?a， 2222212125112∴S＝ (a?2a?5)?a?a?2a?，即S＝(a?2)?，∴当a＝2（在2＜a＜3）
222221时，S最小值?．
2则S?BEF?26．（2010 湖南株洲）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得OA?3cm；
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．