故方程组（*）有且只有一组解．
由（*）得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．
222
从而△=（8km）﹣4（1+4k）（ 4m﹣4）=0．
22
化简，得m=1+4k．①
22
因为直线l被圆x+y=5所截得的弦长为2， 所以圆心到直线l的距离d=
=
．
222
即=． ②
2
2
由①②，解得k=2，m=9． 因为m＞0，所以m=3．
点评： 本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．
18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x+2（0≤x≤
2
）的图象，且点M到边OA距离为．
（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
考点： 基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 不等式的解法及应用；直线与圆．
分析： （Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x+2（0≤x≤x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程； （Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．
2
解答： 解：（I）∵y=﹣x+2，∴y′=﹣2x，
2
2
）在
∴过点M（t，﹣t+2）的切线的斜率为﹣2t，
2
所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t+2）=﹣2t（x﹣t），
2
即y=﹣2tx+t+2，
当t=时，切线l的方程为y=﹣x+
，
2
即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0； （Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t+2， 令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（令y=0，得x=
，故切线l与线段OC交点为（
），
）．
2
地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，
则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．
∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．
点评： 本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．
19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
在（0，+∞）上为增函数，则称
）×2=4﹣t﹣=4﹣
f（x）为“一阶比增函数”；若y=比增函数”．
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
32
（1）已知函数f（x）=x﹣2hx﹣hx，若f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2，求实数h的取值范围； （2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t﹣4）＞0；
（3）定义集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）x f（x） a d b d c t a+b+c 4
＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）根据：f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2，可得y=
=x﹣2hx﹣h，利用二次
2
函数的单调性可得=h≤0；由=，y′=x+，对h分类讨论可
得：当h≥0，此时f（x）∈Ω2；当h＜0时，有极值点，可得f（x）?Ω2．即可得出． （2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得
，函数在x∈（0，+∞）
．由
表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得
，再利用不等式的性质即可得出．
（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解．即可得出． 解答： （1）解：y=
=x﹣2hx﹣h，若f（x）∈Ω1，则h≤0；
2
=
合题意，舍去； 当h＜0时，
，y′=x+，当h≥0，x＞0时，y′＞0，此时f（x）∈Ω2，不符
，此时函数在x∈（0，+∞）有极值点，因此f（x）?Ω2．
综上可得：当h＜0时，f（x）∈Ω1且f（x）?Ω2．
因此h的取值范围是（﹣∞，0）． （2）证明：由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2， 则
．
由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4， ∵0＜a＜b＜c＜a+b+c， ∴∴d＜0，∴2d+t＜4，
，，
，
，
∴d（2d+t﹣4）＞0．
（Ⅲ）∵集合合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
∴存在f（x）∈ψ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立． 我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立． 假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0， 记
=m＞0
∵f（x）是二阶比增函数，即是增函数．
∴当x＞x0时，
2
＞=m＞0，
∴f（x）＞mx，
2
∴一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx1＞k， 这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾． 即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．
∴存在f（x）∈ψ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立． 下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解． 假设存在x2＞0，使得f（x2）=0， ∵f（x）是二阶增函数，即
是增函数．
一定存在x3＞x2＞0，使＞=0，这与上面证明的结果矛盾．
∴f（x）=0在（0，+∞）上无解．
综上，我们得到存在f（x）∈ψ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立． ∴存在常数M≥0，使得存在f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立． 又令f（x）=﹣（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
又有=﹣在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）∈ψ，
而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有f（x）＞k． ∴M的最小值 为0．
点评： 本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．
20．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．
（Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值； （Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）（cm＞0），求数列的前n项和Sn．
（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
成立的所有N的值．
考点： 等差数列的性质；数列与不等式的综合． 专题： 综合题；压轴题．
分析： （Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，ann中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可； （Ⅱ）由d1=1，d2=3，代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m个奇数的和，又前m组中所有数之和为（cm）（cm＞0），即可得到cm=m，代入出数列
中确定出数列
的通项公式，根据通项公式列举
2
4
4
的前n项和Sn，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②﹣①
即可得到前n项和Sn的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得到dn和Sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数．
解答： 解：（Ⅰ）由题意知amn=1+（n﹣1）dm．
则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1）， 同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，ann﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（dn﹣dn﹣1）．
又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=ann﹣a（n﹣1）n． 故d2﹣d1=d3﹣d2=…=dn﹣dn﹣1，即dn是公差为d2﹣d1的等差数列． 所以，dm=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2． 令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则dm=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．（4分）
*
（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，dm=2m﹣1（m∈N）． 数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），． 按分组规律，第m组中有2m﹣1个奇数，
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m个奇数．
2
注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k﹣1）=k，
2224
所以前m个奇数的和为（m）=m．
444
即前m组中所有数之和为m，所以（cm）=m． 因为cm＞0，所以cm=m，从而
．
2