下面，我们证明147是最小的和
假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足
最小（存在性
显然，因为满足的数集A只有有限个）．
第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72， 所以n≥8
第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9： 若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得
最小，在集合A
中一定不含有元素ak，使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；
假设36?A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素， 从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾， 所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36； 同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9
（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）． 假设18?A．
因为an﹣1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1=36=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+an﹣1+ai+aj=144，
而此时集合A中至少还有4个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素 从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾， 所以18∈A，且an﹣2=18
同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9 假设9?A
因为an﹣2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣2=18=ai+aj 显然ai≠aj，所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，an﹣2，ai，aj的元素 从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾， 所以9∈A，且an﹣3=9）
至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2． 根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj 我们需要考虑如下几种情形：
①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8， 则S＞148；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7， 则S＞148；
③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；
④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…（14分） 点评： 本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，an﹣1=36，an﹣2=18的证明是难点，属于难题．