∴MO=BO=BM， ∴MN=BM．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折变换添加辅助线，属于中考常考题型．
21．（9分）（2017?济宁）已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式； （2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为
的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点
M距离最大时函数C2的解析式． 【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；
（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；
（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式． 【解答】解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点， ∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，
第21页（共39页）
解得：m＜且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数， ∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．
∵n≤x≤﹣1＜﹣，a=2＞0，
∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小． ∴当x=n时，y=﹣3n．
∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）． ∴n的值为﹣2．
（3）∵y=2x2+x=2（x+）2﹣， ∴M（﹣，﹣）． 如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣∴OM的解析式为y=x． 设点P的坐标为（x，x）．
第22页（共39页）
k=﹣，解得：k=．
由两点间的距离公式可知：OP=解得：x=2或x=﹣2（舍去）． ∴点P的坐标为（2，1）．
=，
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，找出PM取得最大值的条件是解题的关键．
22．（11分）（2017?济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线y=正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（
，3），点N的坐标是（
，0）时，求点P的坐标；
（x＞0）上的任意一点，点N是x轴
（2）如图3，当点M的坐标是（3，的自相似点的坐标；
），点N的坐标是（2，0）时，求△MON
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】16 ：压轴题．
第23页（共39页）
【分析】（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=
，求出∠
AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=得出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=2
，直线OM的解析式为y=
x，
，OD=
，PD=，即可
ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可； ②求出MN=
=2，由相似三角形的性质得出
，求出PN=
，
在求出P的横坐标即可； （3）证出OM=2
=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△
MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON， ∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点； 过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=∴∠AON=60°， ∵当点M的坐标是（∴∠MNO=90°， ∵△NOP∽△MON， ∴∠NPO=∠MNO=90°， 在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=∴OD=OPcos60°=∴P（
，）；
×=
，
×
=，
，3），点N的坐标是（
，0），
，
，PD=OP?sin60°=
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示： ∵点M的坐标是（3，
），点N的坐标是（2，0），
第24页（共39页）
∴OM=分两种情况：
=2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，
①如图3所示：∵P是△MON的相似点， ∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q， ∴PO=PN，OQ=ON=1， ∵P的横坐标为1， ∴y=
×1=
， ）；
∴P（1，
②如图4所示： 由勾股定理得：MN=∵P是△MON的相似点， ∴△PNM∽△NOM， ∴
，即
，
，代入y=
得：
=
x，
，
=2，
解得：PN=
即P的纵坐标为解得：x=2， ∴P（2，
）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；
，0）；理
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（由如下： ∵M（∴OM=2
，3），N（2
，0），
，3），N（2
=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形， ∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON， ∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
第25页（共39页）