记“从样本中体重在区间一人被抽中”为事件，则
上的女生中随机抽取两人，体重在区间
. 中，的位置，使
，为
上的女生至少有
19.如图所示，在等腰直角三角形
，现沿
将
折起到
的中点，点在
上，且
上，且.
，点在
(1)求证：(2)求二面角
平面； 的余弦值.
.
【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】 试题分析：
(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可证得(2)求得平面的法向量，结合夹角公式可得二面角试题解析： (1)因为
，
，所以建立以点为原点，分别以
的余弦值是
.
平面；
所在直线为轴的空间
直角坐标系，如图所示. 则易知又因为又
平面，
，为平面
，
.
的一个法向量，
，
平面
.
，所以，所以
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(2)由(1)知设平面则令又因为
，，
， . 为平面
，，
的法向量为，即，解得
的一个法向量，
，
为平面的一个法向量，所以
所以二面角20.定圆
的余弦值为.
且与圆相切，记圆心的轨迹为.
,动圆过点
（1）求轨迹的方程； （2）设点的方程. 【答案】（1）【解析】
试题分析：（Ⅰ）由两圆的相切的关系判断可得点的轨迹是一个椭圆，由椭圆标准方程易得；（Ⅱ）由已知得程为
，因此先求当
是实轴时，S＝2，当AB斜率存在且不为0时，设方
，而OC斜率为，同理得
，由
；（2）
或
．
在上运动,与关于原点对称，且
,当
的面积最小时, 求直线
，代入椭圆方程可求得A点坐标，从而得
可用表示出面积，最后由基本不等式可得最小值，还要与斜率为0
的情形比较后可得． 试题解析：（Ⅰ）因为点
在圆
内，
所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆， 且
，所以b=1，所以轨迹E的方程为
．
（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时
=2．
（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx， 联立方程
得
，
，
- 12 -
所以．
由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，
同理得，
，
由于所以因为
，
，当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是， ，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题． 21.已知函数（1）若曲线（2）求函数（3）若函数【答案】（1）时，【解析】
试题分析：（1）因为点为，故切线为
；（2）
在曲线
上，所以，将分成
，因为，令
，即证
，解得
，利用导数求得斜率
四类，讨，所以
，
过点在区间
． ，求曲线上的最大值；
．
，当
时，
，当
在点处的切线方程；
有两个不同的零点，，求证：；（2）当
时，
；（3）证明见解析.
论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设
，
，要证明
，即证明
令
试题解析： （1）因为点
（），利用导数求得的最小值大于零即可.
在曲线上，所以，解得．
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因为
，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为， ①当时，，
，
所以函数在上单调递增，则
；
②当，即时，
，
，
所以函数在
上单调递增，则
；
③当，即
时，
函数在上单调递增，在
上单调递减，
则；
④当，即
时，
，， 函数
在上单调递减，则．
综上，当时，； 当时，
；
当
时，
． （3）不妨设， 因为， 所以，
，
可得，
，
要证明
，即证明
，也就是，因为，
所以即证明，
即，
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令，则，于是，
令（），
则故函数所以
在
，
上是增函数， ，即
成立，所以原不等式成立．
考点：导数与切线、最值.
【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求. 22.已知曲线的极坐标方程是的正半轴，建立平面直角坐标系
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴
．在直角坐标系中，倾斜角为的直线过点
．
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程； （Ⅱ）设点和点的极坐标分别为求
的面积．
，
；（Ⅱ）
.
，若直线经过点，且与曲线相交于
两点，
【答案】（Ⅰ）【解析】
试题分析：(Ⅰ)运用极坐标与直角坐标之间的关系求解；(Ⅱ)借助题设条件和直线的参数方程求弦
,再求点
到
的距离,最后运用面积公式求解.
试题解析: （Ⅰ）曲线化为：再化为直角坐标方程为直线的参数方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）将点
，
（为参数）． 的极坐标化为直角坐标得
，
，
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