辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．（0，） B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．（﹣，）
2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=( ) A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3．单位向量与的夹角为 A．
B．1
，则
=( ) C．
2
D．2
2
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=△ABC的面积是( ) A．
B．
C．
D．3
，则
5．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )
A．
6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A．
B．
C．
D．
B．1﹣
C．
D．1﹣
7．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )
A．7 B．9 C．10 D．11
8．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )
A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 222=2 D．（ x+1）+（y+1）=2
2
2
2
2
C．（x﹣1）+（y﹣1）
2
9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m
﹣n=( )
A．5
2
B．6 C．7 D．8
10．抛物线C1：y=4x，双曲线C2：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右
焦点，则2a+b的最大值为( )
A． B．5 C． D．2
11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为
( ) A．3
B．
C．
2
2
D．3
12．若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a的取值范围是( ) A．[﹣，+∞）
B．[
，+∞）
C．[﹣，]
D．[﹣∞，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
14．已知函数f（x）=cosx?sin（x+
）﹣
cosx+
2
的展开式中xy的系数为__________．（用数字作答）
22
，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]
上的最大值和最小值分别为__________．
15．函数f（x）=log0.5（x﹣4）的单调增区间为__________．
16．给出如下四个结论：
2
①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16； ②?a∈R，使得f（x）=
*
2
﹣a有三个零点；
③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位； ④若命题p：?x∈R，e＞x+1，则￢p为真命题；
以上四个结论正确的是__________（把你认为正确的结论都填上）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=
，求证：b1+b2+…bn＜
．
x
18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；
（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人； （1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 住宿生 10
总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？ （3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望； 参考公式：K=
2
．
20．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
，过点F且与x轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
21．已知f（x）=
，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
2x﹣y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围； （3）已知
=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD?DE=2PB．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
（θ为参数）若以该直
角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+
）=
（其中t为常数）．
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程
=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．（0，） B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．（﹣，）
考点：交集及其运算． 专题：集合．
分析：求出P中y的范围确定出P，找出P与Q的交集即可． 解答： 解：由P中y=|x|≥0，得到P=[0，+∞）， ∵Q=[﹣，]， ∴P∩Q=[0，]， 故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．