20．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
，过点F且与x轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为
2
2
2
2
2
，得a与b有
等量关系，结合c=a﹣b，消去c，即得a，b，从而得椭圆C的标准方程．
对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值． 解答： 解：（1）设F（﹣c，0），由离心率a=3c=3（a﹣b），得3b=2a．…①
易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c， 代入椭圆方程中，得
，解得y=±
2
2
2
2
2
2
知，
由题意，得联立①、②，得故椭圆C的方程为
，得，b=2，
．
2
．…②
（2）由
2
2
，消去y，整理，得（3k+2）x+6ktx+3t﹣6=0，…③
2
2
222
有△=24（3k+2﹣t）＞0，得3k+2＞t，…④ 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0）， 由韦达定理，得x1+x2=
，
，
则x0=
，，
∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），
=﹣（0+
），
将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣
2
2
化简得：3k+2=4t，代入④式中，有4t＞t，得0＜t＜4． |MN|=
=
=．
设原点O到直线MN的距离为d，则，
∴S△MON=?|MN|?d=?
．
==
， ，
，
当t=2时，S△MON有最大值此时，由3k+2=4t知，k=±∴△MON面积的最大值为
2
，此时直线l的方程为y=±x+2．
点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此
类问题的常见技巧如下：
1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a，b的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三
222
个独立的方程，注意隐含条件“a=b+c”运用．
2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．
21．已知f（x）=
，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
2
2
2x﹣y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围； （3）已知
=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出函数f（x）的导数，由切线方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的解析式，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令?（x）=2lnx﹣m（x﹣），对m讨论，①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，讨论函数的单调性，即可判断；
（3）对任意的k＞1，?（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，以及由（2）④知当0＜m＜1时，得到的结论，取k=，代入计算即可得到所求近似值．
解答： 解：（1）f（x）=ax+，f′（x）=a﹣
，
由于f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0， 则f′（1）=2，f（1）=0即a﹣b=2，a+b=0， 解得a=1，b=﹣1； （2）f（x）=x﹣，
由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣）， 即2lnx﹣m（x﹣）≤0，
令?（x）=2lnx﹣m（x﹣）则?′（x）=﹣m（1+）=，
①当m=0时，?′（x）=＞0恒成立，
即有?（x）在（1，+∞）上单调递增，则?（x）＞?（1）=0， 这与?（x）≤0矛盾，不合题意；
2
若m≠0，令△=4﹣4m=4（1+m）（1﹣m）， ②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0
2
即有﹣mx+2x﹣m≥0恒成立，即?′（x）≥0恒成立 即?（x）在（1，+∞）上单调递增，
即有?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；
③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2）， 由韦达定理得x1?x2=1＞0，x1+x2=＜0，
即x1＜x2＜0，则当x≥1时，﹣mx+2x﹣m≥0恒成立，
即?′（x）＞0恒成立，即有?（x）在（1，+∞）上单调递增， 则?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；
2
④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），
2
2
0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，
即有?（x）在（1，x2）单调递增，当x∈（1，x2）时，?′（x）＞0，
即有?（x）在（1，+∞）上单调递增，即有?（x）＞?（1）=0，这与?（x）≤0矛盾，不合题意；
⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，则?′（x）≤0恒成立，
即有?（x）在[1，+∞）上单调递减，?（x）≤?（1）=0，合题意． 综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立； （3）对任意的k＞1，?（k）=2lnk﹣m（k﹣）， 由（2）知，当m=1时，?（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立， 即2lnk＜k﹣，
取k=得ln＜（﹣）≈0.289．
由（2）④知当0＜m＜1时，?（x）在（1，?（x）＞?（1）=0， 令x1=
）上单调递增，
得：m=，?（x）=2lnx﹣m（x﹣）＞0
﹣1＞0，即有lnk＞（1﹣
），
∴?（k）=2lnk﹣m（k﹣）=2lnk+取k=得：ln＞≈0.286， ∴0.286＜ln＜0.289，
取ln=×（0.286+0.289）=0.2875≈0.29， ∴ln≈0.29．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查判断函数的单调性和不等式的恒成立问题，具有一定的运算量，运用分类讨论的思想方法和两边夹及取均值思想是解题的关键．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD?DE=2PB．
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：选作题；立体几何．
分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；
2
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD?DE=2PB． 解答： 证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是
的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA=PB?PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，
∴BD?DC=PB?2PB， ∵AD?DE=BD?DC，
2
∴AD?DE=2PB．
2
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程