②令g（x）=，则g′（x）=，函数在（﹣∞，﹣1）、（2，+∞）
上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，又g（2）＜0，g（﹣1）＞0， 故?a∈R，使得f（x）=
*
﹣a有三个零点，正确；
③由方程y=3﹣2x得，变量x增加1个单位时，y平均减少2个单位，正确．
xx
④若命题p：?x∈R，e＞x+1，则￢p：?x∈R，e≤x+1，比如x=0时成立，故为真命题． 故答案为：①②③④
点评：本题考查正态分布，考查了回归直线方程的应用，考查命题的否定，知识综合性强．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=
，求证：b1+b2+…bn＜
．
考点：数列的求和；等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的前n项和代入bn=解答： （1）解：由a4+a8=22得：a6=11， 又a3=5， ∴d=2，
则a1=a3﹣2d=1． ∴an=2n﹣1； Sn=
（2）证明：bn=
=
，列项和求出b1+b2+…bn，放缩后得答案．
═n； =
，
2
当n=1时，b1=当n≥2时， b1+b2+…+bn=
，原不等式成立；
=＜
=．
∴b1+b2+…+bn＜
．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．
18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；
（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用． 分析：（1）利用线面垂直的性质可得：AB⊥CE，利用圆的性质可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；利用圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于
2222
3π，可得BE?EC=2r，BE+CE=4r，解得：BE=EC=r．分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；利用线面垂直的性质分别求出平面BAC的法
向量，平面CAE的法向量为，利用向量夹角公式即可得出．
解答： （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC， ∴AB⊥CE，
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE，
∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B． ∴CE⊥平面ABE，
∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF， 又BF⊥AE，且CE∩AE=E， ∴BF⊥平面AEC， 又AC?平面AEC， ∴BF⊥AC．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r； V圆柱=πr?2r=2πr． VA﹣BEC=
BE?EC?2r=?BE?EC?r
2
3
由题意：圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，
2
∴BE?EC=2r， 222BE+CE=4r， 解得：BE=EC=r．
分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系； 则E（0，0，0），B（r，0，0），C（0，r，0），A（r，0，2r）， =（0，0，2r），
=（﹣r，r，﹣2r），
=（0，r，0），
⊥
，
=（r，0，2r）， ⊥
得：
=
=0，
设平面BAC的法向量为
=（x1，y1，z1），则由
即：﹣r（x1﹣y1+2z1）=0，2rz1=0， 取y1=1得：x1=1，z1=0，设平面CAE的法向量为
=（1，1，0）． =（x2，y2，z2），则由
，
得：
=
=0
即
，取z2=1，解得：y2=0，x2=﹣1，∴
=（﹣，0，1）．
∴==﹣33
由图形可知：二面角B﹣AC﹣E为锐二面角， ∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为33．
点评：本题考查了圆柱的性质、线面垂直判定与性质定理、圆的性质、勾股定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人； （1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生
住宿生 10 总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？ （3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望； 参考公式：K=
2
．
考点：频率分布直方图；独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计．
分析：（1）根据频率直方图，利用频率=和
，补全频率分布直方图即可；
，求出样本容量n，以及第④组的频率
（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用2×2列联表，计算K的值，即可得出正确的判断；
（3）求出X的所有可能取值以及对应的概率，求出X的分布列与数学期望值． 解答： 解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8）， 由图可知：P1=
×30=
，P2=
×30=
；
；
2
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=由题意：n×∴n=100；… 又P3=P6=
×30=×30=
，P5=，P7=
×30=×30=
， ，P8=
=5，
×30=；
；
∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=∴第④组的高度为：h=
×
=
=
；
补全频率分布直方图如图所示：
（注：未标明高度1/250扣1分）…
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “走读生”有45人，利用时间不充分的有40人， 从而2×2列联表如下： 利用时间充分 利用时间不充分 走读生 30 15 住宿生 45 10 总计 75 25 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得； … K=
2
总计 45 55 100
=≈3.030；
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；…
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人， 则X的所有可能取值为0，1，2，3； ∴P（X=0）=
=
，P（X=1）=
=
，
P（X=2）==，P（X=3）==；…
∴X的分布列为： X 0 1 P ∴EX=0×
+1×
+2×
2 +3×
=
3 =；…
=）．
（或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．