三角函数及三角恒等变换
任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. 答案④ ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不对 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是. 答案
?3
3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是. 答案 1或4 4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?=. 答案 -cos2 5.?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=
例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,
?224x,则sin?=. 答案
104
,
?2的终边所在位置.
解 ∵?是第二象限的角，∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k2180°+45°＜
?2 ＜k2180°+90°（k∈Z），
?2当k=2n（n∈Z）时，n2360°+45°＜＜n2360°+90°；
?2当k=2n+1（n∈Z）时，n2360°+225°＜（3）∵k2120°+30°＜
?3＜n2360°+270°.∴
?2是第一或第三象限的角.
＜k2120°+60°（k∈Z），
?3当k=3n（n∈Z）时，n2360°+30°＜＜n2360°+60°；
?3当k=3n+1（n∈Z）时，n2360°+150°＜当k=3n+2（n∈Z）时，n2360°+270°＜∴
?3＜n2360°+180°； ＜n2360°+300°.
?3是第一或第二或第四象限的角.
例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?∴扇形的面积为S=
1212?180?r,∴?=?-2=(?-2)3?????12?≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,
2
r?=
（?-2）r.
2
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=
lr，将①代入，得S=
12 ①
(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
lr所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-235=10,?==2.
所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例3 已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值. 解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角?的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0),则x=4t,y=-3t, r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,
当t＞0时，r=5t,
sin?=
yr??3t5t??35,cos?=
yrxr?4t5t??3545,tan?=
xryx???3t4t4t??4534;
yx?
?3t4t
??34 .
45
34 .
当t＜0时，r=-5t,sin?=
??3t?5t,cos?=
45?5t??,tan?=
综上可知，t＞0时，sin?=?35,cos?=,tan?=?34;t＜0时，sin?=
35,cos?=-,tan?=?
例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥
32;(2)cos?≤?3212.
解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?的终
边的范围，故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
?3≤?≤2k?+
1223?，k∈Z .
（2）作直线x=?交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即
为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
23?≤?≤2k?+
43?，k∈Z .
1.已知?是第三象限角，问
?3是哪个象限的角？
?3解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），60°+k2120°＜①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m2360°＜故
?3＜90°+k2120°.
?3＜90°+m2360°（m∈Z）.
的终边在第一象限.
?3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得180°+m2360°＜故
?3＜210°+m2360°（m∈Z).
的终边在第三象限.
?3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得300°+m2360°＜故
?3＜330°+m2360°（m∈Z）.
的终边在第四象限.综上可知，
?3是第一、第三或第四象限的角.
2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长；（2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=(2)∵S扇形OAB=
122?3rad，r=6，∴ 的弧长为l=
122?336=4?. =
12lr=
1234?36=12?，S△ABO=r22sin
2?33623
32=93，∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.
3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.
22解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.∴r=x2?y2=0?t=|t|.
当t＞0时，r=t,sin?=
yr=
yrtt=1,cos?=
t?txr=
0t=0,tan?=
xryx不存在；
yx当t＜0时，r=-t，sin?===-1,cos?==
0?t=0,tan?=不存在.
综上可知：sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：
（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.
解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥∴x∈?2k????12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
?3,2k?????3?（k∈Z）.
34（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-
32＜sinx＜
32.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x∈（k?-?3,k?+
?3）（k∈Z).
一、填空题
1.已知cos?2tan?＜0,那么角?是第象限角.答案 三或四 2.若0＜x＜
?2，则sinx
4?2x2（用“＞”,“＜”或“=”填空）.答案 ＞
3.与610°角终边相同的角表示为.答案k2360°+250°(k∈Z) 4.已知（
12）sin2?＜1,则?所在象限为第象限.答案一或三
5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第象限.答案 二 6.已知?∈???????2,13，则关于tan?的值，以下四个答案中，可能正确的是（填序号）. ?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1）
2?
③-13①-3 答案 ③
②3或 ④-3或-
13
7.已知角?的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则
sin?sin??cos?cos??.答案 2
8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,其中t∈［0,60］.答案 10sin二、解答题 9.已知sin?=
1?a1?a?t60
,cos?=
3a?11?a,若?是第二象限角，求实数a的值.
1?a?0?sin???1??1?a解 ∵?是第二象限角，∴sin?＞0,cos?＜0,∴???1?cos??3a?1?0?1?a?，解得0＜a＜
13.
又∵sin?+cos
22
?1?a??3a?1??=1,∴??????1?a??1?a?22?1,解得a=
19或a=1(舍去），故实数a的值为
19.
10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形半径为R，中心角为?，所对的弧长为l.
?12??R?4,（1）依题意，得?2??R?2R?10,?∴2?-17?+8=0,∴?=8或
2
12.∵8＞2π,舍去,∴?=
12.
(2)扇形的周长为40,∴?R+2R=40， S=
12lR=
12?R=
2
14?R22R≤
1??R?2R???4?2?2?100.
当且仅当?R =2R,即R=10,?=2时面积取得最大值，最大值为100.
sin?211.设?为第三象限角，试判断
cos?2的符号.
sin?2综上可知：
cos?2＜0.
12.角?终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角?终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?的值.
解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为（2a，a）. sin?=
a2?2a?(?2a)a(2a)?a222??2a5a2,cos?=
a2a?(?2a)2?2a5aa5a2,tan?=,tan?=
a2a?2aa?12??2,
sin?=
?a5a2,cos?=
2a(2a)?a22?,
2故有sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan? =
?2a5a2?a5a2?a5a2?2a5a2?(?2)?12=-1.
同角三角函数的基本关系与诱导公式
2
1.（20082常州模拟）sin(?+?)-cos(?+?)2cos(-?)+1的值为.答案 2 2.sin210°=.答案?3.已知tan?=4.若
1212
??3???，则2?,且?∈??,sin?的值是.答案??3???????2?35553
sin??cos?sin??cos?=2,则sin(?-5?)2sin
55=.答案
105.已知sin?=
，则sin4?-cos4?的值为.答案?例1 已知f(?)=
sin(???)cos(2???)tan(????)?tan(????)sin(????)??;
3??1??2?5(1)化简f(?);(2)若?是第三象限角，且cos???解 （1）f（?）=
3???(2)∵cos????2??sin??cos??(?tan?)tan?sin?，求f(?)的值.
=-cos?.
5?1522=-sin?,∴sin?=-1515,cos?=-??256,∴f(?)=
1256.
例2已知-
?2＜x＜0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；（2）求
cos2x?sin2的值.
x解 （1）方法一 联立方程：
1 ??sinx?cosx? ①5 ??sin2x?cos2x?1 ②?由①得sinx=
15-cosx,将其代入②，整理得
25cosx-5cosx-12=0.
2
∵-
3?sinx?????5＜x＜0,∴?2?cosx?4?5?2
,所以sinx-cosx=-
75.
方法二 ∵sinx+cosx=
15,∴(sinx+cosx)
?1?=???5?2,即1+2sinxcosx=
125,∴2sinxcosx=-
2425.
?2∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,∴sinx-cosx＜0
752425=
4925 ①
又∵- ②
由①②可知：sinx-cosx=-1?sinx?cosx???5??sinx?cosx??7?5?. (2)由已知条件及（1）可知
3?sinx????5,解得??cosx?4?5?,
sin2x?coscos22x∴tanx=-
34. 又∵
cos12x?sin2?xsincos22x?cosx?sin22xx=
cosx22=
xtan2x?12 =
?3?????1?4??3?1?????4?22?257.
x?sin21?tanxcosx例3 已知tan?=2,求下列各式的值：（1）解 （1）原式=
2
2sin??3cos?4sin??9cos?;(2)
22sin4sin22??3cos???9cos?2222;(3)4sin2?-3sin?cos?-5cos2?.
2?2?34?2?92222tan??34tan??92
?2?2?34?2?92
??1.（2）
2sin4sin2
22??3cos???9cos?4sin22?2tan??34tan??922??57.
(3)∵sin?+cos?=1,∴4sin?-3sin?cos?-5cos?==
3???tan(???)cos(2???)sin?????2??cos(????)sin(????)??3sin?cos??5cos?sin
??cos?4tan??3tan??5tan??122?4?4?3?2?54?1?1.
1.化简.
???(?tan?)???cos(???)????sin????2?(?cos?)?sin???????解 原式==
???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??cos(???)???sin(???)??tan??cos?sin?sin?cosa=
?tan??cos??(?cos?)?cos??sin?==??cosasin?=-1.
2.已知sin? +cos?=
15,?∈(0,?).求值：
（1）tan?;(2)sin?-cos?;(3)sin3?+cos3?. 解方法一 ∵sin?+cos?=
15,?∈(0,?),∴(sin?+cos?)2=
15125=1+2sin?cos?，∴sin?cos?=-
1225＜0.
由根与系数的关系知，sin?,cos?是方程x2-解方程得x1=
45x-
1225=0的两根，
,x2=-
35.
45∵sin?＞0,cos?＞0,∴sin?=方法二 （1）同方法一.
,cosθ=-
35.∴(1)tan?=-
43.(2)sin?-cos?=
7533
.(3)sin?+cos?=
37125.
（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?2cos?=1-23????12??25?=
4925.
75∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,∴sin?-cos?=.
15(3)sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)=3?1???12??25?=
37125.