由2k?+由2k?+
?6＜2x+≤2x+
?6≤2k?+＜2k?+
?2(k∈Z),得g(x)的单调增区间为：?k?,k???????6?（k∈Z）
?2?65?6,得g(x)的单调减区间为?k?????6,k?????（k∈Z） 3? 函数y=Asin(?x+?)的图象及三角函数
模型的简单应用
1.（20082天津理，3）设函数f（x）=sin?2x??????，x∈R，则f（x）是（填序号）. 2?①最小正周期为?的奇函数②最小正周期为?的偶函数③最小正周期为2.（20082 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos?答案 2
3.为了得到函数y=2sin??x?3??x?2??2的奇函数④最小正周期为
?2的偶函数答案 ②
123???2?(x∈[0,2?])的图象和直线y=的交点个数是个.
???，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向平移单位，再把所有各点6?的横坐标变为原来的倍.答案 左 4.下面有五个命题：
?6 3
k?2①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?.②终边在y轴上的角的集合是{?|?=③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+
?3,k∈Z}.
?2)的图象向右平移
?6得到y=3sin2x的图象.⑤函数y=sin(x-)在［0,?］上是减函数.
其中，真命题的编号是.答案 ①④ 5.已知函数f(x)=2sin?x (?＞0)在区间???????,?上的最小值是-2，则?的最小值等于.答案2 34?3
例1 已知函数y=2sin?2x??????,
3?(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin?2x????????的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 3?解 （1）y=2sin?2x?（2）令X=2x+
?3???2?=?，初相?=. ?的振幅A=2,周期T=
323???,则y=2sin?2x????=2sinX.
3?列表，并描点画出图象：
（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移的点的横坐标缩短到原来的
12?3个单位，得到y=sin?x???????????的图象，再把y=sin?x??的图象上3?3??倍（纵坐标不变），得到y=sin?2x?????????的图象，最后把y=sin?2x??上所有点的纵坐标伸3?3??长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin?2x????的图象.
3?方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图象向左平移得到y=sin2?x???12倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；
?6个单位；
???????????=sin?2x??的图象；再将y=sin?2x??的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的26?3?3??????的图象.
3??5??6倍，得到y=2sin?2x?例2 如图为y=Asin（?x+?）的图象的一段，求其解析式. 解方法一 以N为第一个零点，则A=-3，T=2?????3?=?，
∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）.∵点N????????32+?=0，∴?=， ,0?，∴-636?所求解析式为y=-3sin?2x????????.
3? ①
方法二 由图象知A=3，以M????????0??3列方程组????5??????6??5???,0?为第二个零点. ,0?为第一个零点，P??6??3???2???. 3????2? 解之得?2?????3?.∴所求解析式为y=3sin?2x? ②
例3 （14分）已知函数f(x)=
A2-
A2cos(2?x+2?) (A＞0,?＞0,0＜?＜
?2),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻
两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求?;(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 （1）∵y=
A2-
A2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,∴
1?2??2?2???. ?=2,?=4?A2+
A2=2,A=2.
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0,∴∴f(x)=
22-
22cos???????x?2??=1-cos?x?2??. ?2??2?????2???2?∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos?又∵0＜?＜(2)∵?=
?4=-1.
?2?2?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+
?4,k∈Z.
?2，∴?=
?4.
???2
x?
,∴f(x)=1-cos????x.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又∵y=f(x)的周期为4， ?=1+sin22?2 008=43502,∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008.
1.已知函数y=3sin??1?2x????
4?（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移
?4
个单位，得到y=sin?x?????????的图象；再把y=sin?x??的图象上所有点的横坐标4?4??伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin??1?2x??????1，就得到y=3sin?的图象，最后将y=sin?x??的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
4?4??2???1?x??的图象.
4??2方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin有的点向右平移得到y=sin
1212x的图象；再把y=sin
12x图象上所
?2个单位， )=sin????x?2?(x-?1?2?2???x??最后将y=sin???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），?的图象，
4?4??2就得到y=3sin?（3）周期T=
x??的图象.
4?2??=
2?12=4?，振幅A=3，初相是-32?4.
(4)令令
1212x??4=
?2+k?(k∈Z),得x=2k?+
?2?(k∈Z),此为对称轴方程.
??x-
?4=k? (k∈Z)得x=
+2k?(k∈Z).对称中心为?2k???2??,0?(k∈Z). 2?2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜式为. 答案y=-4sin????813,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达
x???? 4?3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x (其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=
时,f(x)取得最大值2.
（1）函数f(x)的表达式； （2）在闭区间??2123?,?上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. ?44?2?22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)由T=
?=2知?=?，
又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（?x+?）. 由x=
13时f（x）max=2，得sin??6?????.∴f（x）=2sin??x??. ???=1，∴?=66??3????（2）令?x+即
5912=k?+
?2（k∈Z）得对称轴方程为x=k+
13，由对称轴满足
214≤k+
13≤
234（k∈Z）
≤k≤
136512且k∈Z，∴k=5.故在?163?2123?,?上f（x）只有一条对称轴. ?44?x=5+
=
163，即对称轴方程为x=.
一、填空题
1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为.
答案y=cos?2x?????? 6???2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos?2x???只需将函数y=sin2x的图象向平移个单位长度.答案 左 ? ?的图象，
3?12???4,53.（20082湖南理，6）函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间???2?上的最大值是.答案?32
4.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是.答案f′(0)=0 5.函数y=3sin??1?2x????的周期、振幅依次是答案 4?、3
3?????????x?=f??x?，则f??=.答案 -2或2 ?6??6??6???6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f?7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin??x????????????????(?＞0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最小值，无最大值，3??6??3??63?则?=.答案
143
128.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为.答案 2?-二、解答题
9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在，说明理由.
a?a51?解y=1-cosx+acosx+a-=??cosx????a?
282?482?2
58a-
32在闭区间?0,
?
???
上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存
2??
5322当0≤x≤若
a2?2时，0≤cosx≤1，
58a-32＞1,即a＞2,则当cosx=1时ymax=a+
a2=1,∴a=
a22013＜2(舍去).
12若0≤若
a2≤1，即0≤a≤2,则当cosx=
a2时,ymax=
58a?124?58a?=1,∴a=
32或a=-4(舍去).
＜0,即a＜0时,则当cosx=0时,ymax=
32=1,∴a=
125＞0(舍去).
综上所述,存在a=符合题设.
?610.已知函数f(x)=sin（?x+）+sin（?x-
?6?x）-2cos2,x∈R(其中?＞0).
2
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+?］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. 解 （1）f(x)=
32sin?x?12cos?x?32sin?x?12cos?x?(cos?x?1)
?3?1????-1=2sin?sin?x?cos?x=2??x?? -1. ?2?26????由-1≤sin??x?????????≤1,得-3≤2sin??x??-1≤1.可知函数f(x)的值域为［-3，1］. 6?6??2?（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为?,又由?＞0,得于是有f(x)=2sin?2x????=?,即得?=2. ?????-1,再由2k?-≤2x-≤2k?+(k∈Z)，解得k?-≤x≤k?+(k∈Z).
6?26263?????所以y=f(x)的单调增区间为?k???6,k??????(k∈Z).
3???????????+2sin?x??2sin?x??.
4?4?3????11.（20082安徽理，17）已知函数f(x)=cos?2x?(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间??解 （1）∵f（x）=cos?2x?????12,???2?上的值域.
??3????1??sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx) ?+2sin?x??2sin?x??=cos2x+24?4?23???=
12cos2x+
32sin2x+sin2x-cos2x=
12cos2x+
32sin2x-cos2x=sin?2x??????. 6?∴周期T=由2x?2?2=?. ?2?6?=k?+
?,(k∈Z),得x=
k?2????3?3,(k∈Z).∴函数图象的对称轴方程为x=
5???6?k?2??3(k∈Z).
(2)∵x∈????2??12?，∴2x??6?∈???.
??∵f（x）=sin?2x?????,?上单调递增，在区间?,?上单调递减， ?在区间??6??123??32???3???1＜f??=, ?=-212??2?2????∴当x=
?3时，f(x)取得最大值1,又∵f????∴当x=??12时，f(x)取得最小值-
32.∴函数f(x)在??1?t1?t?,1?. ?上的值域为??2?122?????,????3?12.（20082湖北理，16）已知函数f(t)=，g(x)=cosx2f(sinx)+sinx2f(cosx),x∈??,??17??. 12??（1）将函数g(x)化简成Asin(?x+?)+B(A＞0,?＞０,?∈［0，2?)）的形式； （2）求函数g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx2=cosx2
??1?sinxcosx1?sinx1?sinx?sinx?1?cosx1?cosx=cosx2
?1?sinx?2cos2?sinx?(1?cosx)sin22
xx+sinx2
1?cosxsinx.
∵x∈??,17??，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx. 12??∴g（x）=cosx2（2）由?＜x≤∵sint在?sin
5?3?5??4,1?sinx?cosx12+sinx2
5?41?cosx?sinx=sinx+cosx-2=2sin?x??????-2.
4?17?，得＜x+
?4≤
5?3.
3???3?5??,上为减函数，在?上为增函数， ?3?2??2?＜sin
5?4,∴sin
3?2≤sin?x?????5??＜sin4?4??17????x???,???? 12????