3.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z). 求:(1)
4sin??2cos?5cos??3sin?;(2)
14sin?+
2
25cos?.
2
解 由已知得cos(?+k?)≠0,
∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.
1（1）
4sin??2cos?5cos??3sin??4tan??25?3tan??10.(2)
14sin?+
2
252
cos?=4sinsin22??25cos?221=4tan??tan??12225?725.
??cos?
一、填空题
1.?是第四象限角，tan?=?512，则sin?=.答案?513
2.（20082浙江理）若cos?+2sin?=-5,则tan?=.答案 2
3.（20082四川理）设0≤?＜2?,若sin?＞3cos?,则?的取值范围是.答案?4.?是第四象限角，cos?=
1213???3,4???3?
，则sin?=.
5.sin2(?+?)-cos(?+?)cos(-?)+1的值为.答案 2 6.若sin?+cos?=tan??0????????，则?2?的取值范围是.答案??????4,???3?
7.如果cos?=
215,且?是第四象限的角,那么cos??????2?=.答案
265
8.化简:
sin(???)?cos(???)?cos(???2?)tan(???)?sin(3?2=.答案 1
??)?sin(???2?)二、解答题 9.已知cos(?+?)=-解 ∵cos(?+?)=-1212,且?是第四象限角，计算：(1)sin(2?-?);(2),∴-cos?=-12sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)32 (n∈Z).
,cos?=
12,又∵?是第四象限角，∴sin?=-1?cos2???32.
（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］=sin(-?)=-sin?=（2）=
sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)?2sin?sin??cos?46.
=
sin(???)?sin(????)sin??cos?=
sin(2n?????)?sin(?2n?????)sin(2n???)?cos(?2n???)
?sin??sin(???)sin??cos?46==?2cos?=-4.
10.化简：
1?cos??sin1?cos??sin22??.
22解方法一 原式=
(cos(cos??sin??sin?)?cos?)?cos3246??sin???sin?64=
3cos2cos22??sin22?2?sin2?23?(cos??sin?).
1. ①在(0,
?2)上递减；②以2?为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数（写出一个你认为正确的即可）.
答案y=-sinx
2.（20092东海高级中学高三调研）将函数y=sin?2x??????3?的图象先向左平移
?3,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为
原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为.答案y=sin?x????3??? 2?????3?
3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是.答案 5 4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是（写出一个即可）.答案??,5.（2008）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为答案2
例1 求下列函数的定义域：
（1）y=lgsin(cosx);(2)y=sinx?cosx.
解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-?2+2k?＜x＜
?2+2k?,k∈Z}.
方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为
?????2k??x??2k?,k????x|?22??.
（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］ 上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为?x|???4，
5?4，再结合正弦、余弦函数的周期是2?,
?4?2k??x?5???2k?,k???4?.
方法二 利用三角函数线，
如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，则∴定义域为?x|???4≤x≤
5?4（在［0，2?］内）.
?4?2k??x???5???2k?,k?Ζ?4? x-?4方法三 sinx-cosx=2sin?x?可知2k?≤x-?4???≥0，将4?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质
5?4≤?+2k?,解得2k?+
?4≤x≤
+2k?,k∈Z.所以定义域为?x|2kx????4?x?5???2k?,k?Ζ?4?.
例2 求下列函数的值域： （1）y=
sin2xsinx1?cosx;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos?=
2cosx(1?cos1?cosx2???????3?+2cosx.
2解 （1）y=
2sinxcosxsinx1?cosxx)=2cos
2
1??x+2cosx=2?cos??2??12-
12.
1212于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,∴y＜4，且ymin=-（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,即sinxcosx=又t=sinx+cosx=2sin?x???2
,当且仅当cosx=-t2时取得.故函数值域为???(t?1)?12?1?,4?2?.
t2?12.有y=f(t)=t+
?12=.
???，∴-4?2≤t≤2.
12故y=f(t)=
12(t?1)?12(-2≤t≤2),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+
cosx-2sin
?3.即函数的值域为??1,2???1??2?.
（3）y=2cos?∵cos?x??????x?+2cosx=2cos
3?3????3???1?sinx+2cosx=3cosx-3sinx=23?cosx?sinx?=23cos?x??.
?2?2???6????6?≤1∴该函数值域为［-23，23］.
例3 （14分）求函数y=2sin?解 方法一y=2sin???????x?的单调区间. ?4???x?化成?4?y=-2sin?x????????.
4?
??
?
?
3??
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为?2k??∴函数y=-2sin?x????2,2k?? (k∈Z), ?（k∈Z),?2k??,2k???2?22?????的递增、递减区间分别由下面的不等式确定
4?2k?+2k?-
?2≤x-≤x-
?4≤2k?+≤2k?+
3?2（k∈Z),即2k?+（k∈Z),即2k?-?3?4≤x≤2k?+
7?4（k∈Z),
??
3?4
7???4? （k∈Z).
?2?4?24≤x≤2k?+
3?4（k∈Z).
∴函数y=2sin?
???3?????x?的单调递减区间、单调递增区间分别为?2k??,2k???44???4?（k∈Z),?2k???4
,2k??
??
?4
?x
又∵u=
?x
方法二y=2sin?∴由2k?-即??2k??????x?可看作是由?4?y=2sinu与u=
?4??复合而成的.
3?4为减函数，
?2≤u≤2k?+
,?2k??3???4??2（k∈Z),-2k?-≤x≤-2k?+ (k∈Z).
?4（k∈Z）为y=2sin? (k∈Z),即2k?+
????x??4?的递减区间. -x≤2k?+
???4?由2k?+-2k?-
?2≤u≤2k?+≤x≤-2k?-??3?2?2≤
5?4?43?2 (k∈Z)得
????x??4???5?4?4 (k∈Z),即??2k??,?2k??（k∈Z)为y=2sin?的递增区间.
?4,?2k??
3???4?
综上可知：y=2sin?
5??????x?的递增区间为??2k??,?2k???44??4??（k∈Z）；递减区间为??2k??（k∈Z）.
1.求f(x)=1?2cos(?2?x)的定义域和值域.
22解 由函数1-2cos?????x??2?≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是
=
225????.当?x?2k??,k??Z ?x|2k??44??sinx=cos?????x??2?时，ymin=0;当sinx=cos?????x??2?=-1时，ymax=1?2.
所以函数的值域为［0，1?2］. 2.已知函数f(x)=
2cos4x?3coscos2x2x?1,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.
?2解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+
??xx??,且x?k?，解得x≠
k?2??4（k∈Z）.所以f(x）的定义域为
R 2
2cos4??,k??Z . 4?2?又f（x)=
2
x?3coscos2xx?1=
(2cos2x?1)coscos2x2x?1=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f（x）是偶函数.
2
显然-sinx∈［-1，0］，但∵x≠
??k?212??4,k∈Z.∴-sinx≠-1??y?0?2?12.
所以原函数的值域为?y|?1?y??3.（1）求函数y=sin???或?.
y=3tan????6?x??4???2x?的单调递减区间；（2）求?3?的周期及单调区间.
解 （1）方法一 令u=?2k?-5?6????2x?,y=sinu，利用复合函数单调性，由?3?2k?-
?2≤-2x+
?12?3≤2k?+
5?12?2(k∈Z),得
≤-2x≤2k?+
?6（k∈Z),-k?-???12≤x≤-k?+ (k∈Z).
5?12 (k∈Z),即k?-≤x≤k?+（k∈Z).
∴原函数的单调递减区间为?k??方法二 由已知函数y=-sin?2x????12,k??5???12????3?,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x??????3?的单调递增区间.
由2k?-
?2≤2x-
?3≤2k?+
???2（k∈Z),解得k?-?12,k??5???12??12≤x≤k?+
5?12（k∈Z).
∴原函数的单调递减区间为?k??（2）y=3tan?由k?-y=3tan??2???6x4?（k∈Z）. =4?,∴y=3tan?8?3?x??x??? =-3tan???4?6??4,∴T=
4?3?????6?x??4?的周期为4?.
＜
??6＜k?+
?2，得4k?-＜x＜4k?+ (k∈Z),
的单调递减区间是?4k????4?3,4k??8???3??x?4??4?8??x????,4k???(k∈Z）∴y=3tan????的单调增区间是?4k??33?6?4???6
(k∈Z).
一、填空题
1.已知函数y=tan?x在????
?2,???2?内是减函数,则?的范围是.答案 -1≤?＜0
??2.（20092徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx (x∈［-?，0］)的单调递增区间是.答案??3.函数f(x)=tan?x (?＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4.函数y=2sin（
?6??,0?6?
?4所得线段长为
??5??,? ?36??4,则f（
?4）的值是.答案 0
-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是.答案???5.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是.答案?x|k??6.给出下列命题： ①函数y=cos??2?3x??12?x?k????,k??? 4???3?是奇函数；②存在实数?,使得sin?+cos?=;
22?③若?、?是第一象限角且?＜?,则tan?＜tan?;④x=⑤函数y=sin?2x????8是函数y=sin?2x???5???的一条对称轴方程； 4??????,0?成中心对称图形.其中命题正确的是（填序号）.答案 ①④ ?的图象关于点?3??12?7.（20082江苏，1）f(x)=cos(?x-
?6)最小正周期为
?5，其中?＞0，则?=.答案10
8.（20092东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinx≤cosx时，f(x)=cosx;当sinx＞cosx时，f(x)=sinx.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数②f(x)的最小值为-1③当且仅当x=2k? (k∈Z)时，f(x)取最大值
?④当且仅当2k?-＜x＜(2k+1)?(k∈Z)时，f(x)＞0⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2?.
2其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)答案①④⑤ 二、解答题 9.已知x∈???????6,?，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围. 3?m?1m?1解由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函数y=cosx的图象（如图所示），
由图象可得
??122≤
m?1m?1≤1,解得m≤-3.
,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a2b.
??10.设a=?sin??2x4?,cosx?sinx??（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数?＞0，若y=f(?x)在区间??（3）设集合A=?x???2??上是增函数，求?的取值范围； ?23?,?6?x?23??，B={x||f(x)-m|＜2},若A?B，求实数m的取值范围.
????1?cos??x??2?2???2x解（1）f(x)=sin2
424sinx+(cosx+sinx)2(cosx-sinx)=4sinx2+cos2x
=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,∴f(x)=2sinx+1.
???2k????2k?（2）∵f(?x)=2sin?x+1,?＞0.由2k?-≤?x≤2k?+,得f(?x)的增区间是??,??,k∈Z. ?2??2?22??∵f（?x）在??????3??2???2??????2?????0,?. ??上是增函数，∴.∴-≥且≤,∴∈??,?,?4?????32?2?223?232?2???????,（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,即f(x)-2＜m＜f(x)+2. ∵A?B，∴当
?6≤x≤
23?时，不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立.
∴f（x）max-2＜m＜f(x)min+2,∵f(x)max=f(
?2)=3,f(x)min=f(
?6)=2,∴m∈（1，4）.
??11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?,且当x∈?0,12???时，f（x）=sinx. 2?（1）求当x∈［-?，0］时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在［-?，?］上的函数简图； （3）求当f(x)≥
时，x的取值范围.
??解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f（-x）=f（x）.而当x∈?0,∴当x∈???????时，f(x)=sinx. 2???f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x∈,0?时，
2???????x+?∈?0,?， ???,??时，2???2?∵f（x）的周期为?，∴f（x）=f(?+x)=sin(?+x)=-sinx.∴当x∈［-?,0］时，f(x)=-sinx.
（2）如图
（3）由于f(x）的最小正周期为?,因此先在［-?，0］上来研究f(x)≥由周期性知，当x∈?k????5612,即-sinx≥
12,∴sinx≤-
12,∴-
5?6≤x≤-
?6.
?,k???????,k∈Z时，f(x)≥. 6?2112.已知a＞0，函数f(x)=-2asin?2x?????????+2a+b,当x∈?0,?时，-5≤f(x)≤1. 6??2?（1）求常数a,b的值；(2)设g(x)=f?x?解 （1）∵x∈?0,?????且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间. 2??????????7???1???，∴2x+6∈?,??.∴sin?2x??∈??,1?，∴-2asin?2x??∈［-2a,a］. 2?6?6??66???2??∴f(x)∈［b,3a+b］,
又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. （2）由（1）知a=2,b=-5,∴f（x）=-4sin?2x??????-1, 6?g(x)=f?x?????7???????=-4sin?2x??-1=4sin?2x??-1. 2?6?6?????又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin?2x?∴2k?+
?6??1???, ?＞?-1＞1,∴sin?2x?6?6?2?＜2x+
?6＜2k?+
5?6,k∈Z.