即-1≤sin?x?????2,∴-?＜-24?2-2≤
???2sin?x??-2＜-3,故g（x）的值域为［-4??2-2，-3）.
两角和与差的正弦、余弦和正切
1.已知sin?=
35,且?∈???3sin2a?的值等于.答案? ,??，那么
22?2?cosa472.已知tan(?+?)=3，tan(?-?)=5，则tan2?=.答案 -3. 设?∈（0，
?2
15），若sin?=
??35，则2cos（?+??4?+sin?=6?5?4）=.答案
4.（20082山东理）已知cos???47???3,则sin????的值是.答案?
6?5?5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为.
2?例1 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］22sin80的值.
答案?
例2 已知cos(??解??????2)=-
19,sin(
?2-?)=
23,且
?2＜?，?＜
?2，求cos
???2的值.
???????????????,∵＜?＜π,0＜?＜∴＜?-＜π,-＜-?＜. ???????2??222224424???5??45????2?2??,cos????=1?sin????= ?=?=1?cos???392222???????∴sin?????∴cos??????????????????75. ?=cos????cos????+sin????sin????=272?2??2???2???2?55例3 若sinA=,sinB=
101055,且A,B均为钝角,求A+B的值. ,sinB=
???解∵A、B均为钝角且sinA=
1010，∴cosA=-1?sin
2A=-
25=-
255，cosB=-1?sin2B=-
310=-
31010，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=?? 又∵
?2?31025??3???5?10???5102?-3=
?5210?
?2
＜B＜?,
12＜A＜?,∴?＜A+B＜2? cos2?2cos2?.
②由①②知，A+B=
7?4.
例4化简sin2?2sin2?+cos2?cos2?-
解方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin?2sin?+cos?2cos?-=sin?2sin?+cos?2cos?-2
2
2
2
2
2
2
2
122(2cos?-1)2(2cos?-1)
2
2
2
2
22
12 (4cos?2cos?-2cos?-2cos?+1)
12=sin2?2sin2?-cos2?2cos2?+cos2?+cos2?-=sin2?+cos2?-12=sin2?2sin2?+cos2?2sin2?+cos2?-
12
=1-
12=
12.
方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?2sin2?+(1-sin2?)2cos2?-=cos?-sin?2cos2?-=
1?cos2?2
2
12cos2?2cos2?=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-2
12cos2?2cos2?
12cos2?2cos2?=cos?-cos2?2?sin2????1?cos2?)?2?
111??1?cos2?22-cos2?2?sin??(1?2sin?)?=-cos2?=.
22222??方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=2+2-cos2?2cos2?
22222=
14（1+cos2?2cos2?-cos2?-cos2?）+
14 (1+cos2?2cos2?+cos2?+cos2?)-
122cos2?2cos2?=
12.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin?2sin?-cos?2cos?)2+2sin?2sin?2cos?2cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-
1.求值：（1）已知cos?????12cos2?2cos2?
1212sin2?2sin2?-
12cos2?2cos2?=cos2(?+?)-12122cos(2?+2?)
2［2cos2(?+?)-1］=.
??4???????5?,且＜?＜π,0＜?＜,求cos的值； ? =-,sin????=
2?132?5222?1114（2）已知tan?=43,cos(?+?)=-解 （1）?????,?、?均为锐角，求cos?的值.
??????????,∵＜?＜?,0＜?＜. ?+???? =
2??2?222∴??∴cos
?2∈??3??????????12???2,??,??∈??,?∴sin????=1?cos(??)=,cos????=1?sin2(??)?,
21324242225?????????????2=cos?(?????2)?(????)?2?=cos??????????4125363??????-3=-. ?cos????-sin????sin????=(?)3
56513135222?2??????(2)∵tan?=43,且?为锐角， ∴
sin?cos??43,即sin?=43cos?,又∵sin2?+cos2?=1, ,cos?=
17∴sin?=
437.∵0＜?,?＜
5314?2,∴0＜?+?＜?,
∴sin(?+?)=1?cos2(???)=
.而?=(?+?)-?,∴cos?=cos［（?+?）-?］
??11??14?=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?=??3
17+
53143
437=
12.
3.在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2
A?C2A?C2-cos2B=
72,求角B的度数.
72解 在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=4.化简：（1）2sin?????x??4?12-cos2B=,得42
1?cos(A?C)2-2cos2B+1=
72,
,B=60°.
????x??4?+6cos?;(2）
2cos2??1?2???????4????2tan????sin?4?.
解 （1）原式=22?sin??13??????x???cos??x??=2
????????????sin??x??coscos??x?? 2?sin??2?4?2?4????6?4?6?4=22cos?????x??6??=2cos(x-
?42?12). （2）原式=
cos2?=
cos2?cos2?=1.
1?tan???1?cos????2????1?sin2?(1?sin2?)1?tan???2???
一、填空题 1.已知tan(?+?)=
2???1?35,tan????4?=
?4,那么tan ?????4?=.答案
??22
2.sin163°2sin223°+sin253°2sin313°=.答案12
3.已知x∈?????,cosx=
4,则tan2x=.答案 -24?2,0??57
4.已知cos2?=1（其中?∈?2???4,0??），则sin?的值为.答案 -1
??25.（cos
???312?sin12）(cos
12?sin?12)=.答案2
2sin2x6.若f(x)=2tanx-2?1，则f?????的值为.答案 8 sinxcosx?12?227.（20082上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin????x??的最大值是.答案 2
?2?8.求值：cos4?4
3??38+cos8+cos4
5?4
78+cos8=.答案2
二、解答题 9.已知tan?=17,tan?=
13,并且?,?均为锐角，求?+2?的值.
解 ∵tan?=
17＜1,tan?=
13＜1,且?、?均为锐角，∴0＜?＜
?4,0＜?＜
?4.
∴0＜?+2?＜3?4.又tan2?=2tan?=
31?tan2?4,
1?3∴tan(?+2?)=
tan??tan2?4?1?tan??tan2?=
7=1.∴?+2?=
1?1?34.
7410.若函数f（x）=
1?cos2xx??4sin(?-asin
cos????2?的最大值为2，试确定常数a的值.
?2?x)22???解f（x）=
2cos2x4cosx14+asin
x2cos
x2=
12cosx+
a2sinx=
14?a24sin（x+?），其中角?满足sin?=
11?a2.
由已知，有+
a24=4.解之得a=±15. 2sin???????2???4?11.已知sin?解 ∵sin?∴cos4?=
2
????2???4?=
14,?∈??????4,???2?,求2sin2?+tan?-???????2??2?4??????1tan?-1的值.
12????2???4?12sin???2???4????4,=
14,∴sin?5?3??2???4?cos?,
2
=
14,即
sin?????4???2?=
14,sin?????4???2?=
12,
，又∵?∈?1tan????2?,∴4?=
2
,?=
cos?sin?5?12∴2sin?+tan?--1=2sin?+
sin?cos?--1=2sin?-1+
sin2??cos?2sin?cos?
=-cos2?+
?cos2?12sin2?=-cos
5?62cos5?-sin65?6?3??2?????253??=-=
12223.
12.已知tan(?+?)=-
13,tan(?+?)=
13sin(??2?)?4cos?10cos??sin2?22.(1)求tan(?+?)的值；（2）求tan?的值.
解 （1）∵tan(?+?)=-∵tan(?+?)==
sin??2cos?5cos??sin?,∴tan?=-213,
2sin(??2?)?4cos?10cos??sin2??tan??25?tan?2=
sin2??4cos?10cos??sin2?2=
2sin?cos??4cos?10cos??2sin?cos?22=
2cos?(sin??2cos?)2cos?(5cos??sin?)
,
?13?213∴tan(?+?)==
516.
5?5(2)∵tan?=tan［(?+?)-?］=
tan(???)?tan?1?tan(???)tan?,∴tan?=161??513?13=
3143.
16单元检测四
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是?，且当x∈?0,?????2?时，f（x）=sinx，则
f?3?5???的值为.答案
2?3?
?82.设点P是函数f(x)=29sin?x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是正周期是.答案
?2,则f(x)的最小
3.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值分别为.答案 ?,2-2 4.（20092徐州六县一区联考）设sin?=
35(
?2＜?＜?),tan(?-?)=
12,则tan(?-?)的值等于答案 -
211
5.将函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象向右平移?(?＞0)个单位，所得函数是奇函数，则实数?的最小值为. 答案
5?12
6.定义运算
?a?b,ab?0?a*b=?a?,ab?0?b35,则函数f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为.答案 -1
7.cos(?+?)=
,sin???????565??????,?,?∈?0,?，那么cos????的值为.答案 ?=
654?1342????8.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a≠0，x∈R)在x=“偶”，“非奇非偶”填空）答案 奇 9.（20082重庆理，10）函数f（x）=
sinx?13?2cosx?2sinx?4处取得最小值，则函数y=f??3??，?x?是函数.（用“奇”
4??(0≤x≤2?）的值域是.答案 ［-1，0］
??1?2????,0??3?10.设a=(a1,a2),b=（b1,b2），定义一种向量积：a?b=（a1,a2）?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=?2,?,n=?,点P(x,y)
在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动，且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为.答案11.若cos(?+?)=
1512,4?
35,cos(?-?)=,则tan?2tan?=.答案
12
12.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0，2?］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范答案 1＜k＜3 13.若f（x）=asin?x??????4?+bsin?x??????（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是.（注：只要填满足4?a+b=0的
一组数字即可）答案 （1，-1） 14.关于函数f(x)=2sin?3x???34??,有下列命题： ?34?①其最小正周期为③在???5????1212?,23?；②其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；
上为单调递增函数，则其中真命题为（写出你认为正确答案的序号）.答案 ①③
二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（14分）已知?∈?0,?????2?,?∈?513???,???2?且sin(?+?)=
12133365,cos?=-
513.求sin?.
解 ∵?∈?又∵0＜?＜
???,???2?，cos?=-,∴sin?=
?2.
3?2?2,
?2＜?＜?,∴,
＜?+?＜,
又sin(?+?)=∴=-?23365＜?+?＜?,cos(?+?)=-1?sin2(???)
2?33?1????65?=-
5665,
∴sin?=sin［(?+?)-?］
=sin(?+?)cos?-cos(?+?)sin? =
33652????5??13?-????56??65?2
1213=
35.
?216.（14分）已知函数f(x)=Asin(?x+?)(A＞0,?＞0,|?|＜（1）求f(x)的表达式； （2）设g(x)=f(x)-3f?x???) (x∈R)的部分图象如图所示.
???4?,求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.
解 （1）由图象可知：A=1， 函数f(x)的周期T满足：
T4=
?3-
?12=
?4，T=?，