~?T3p??3p1???1?2.447?106m?1
408.6nm1.24nm?Kev??3.03ev
408.6nmE3p??hcT3p??3S能级的光谱项和能级可通过下式求出：
~?1 T3s?T3p??1?1T3s?T3p?1?1?2.447?106?16?1?4.144?10m589.3?10?9
E3s??hcT3s??1.24?103nm?ev?4.144?106m?1??5.14ev（2）Na原子的电离能为
Ei?E??E3s?0?(?5.14ev)?5.14ev
故电离电势为 Vi?第一激发电势为
Ei?5.14v eV12?
?E12E3p?E3s?3.03ev?(?5.14ev)???2.11v eee第三章题解
3-1
电子的能量分别为10eV，100 eV，1000 eV时，试计算相应的德布罗意波长。
解：依计算电子能量和电子波长对应的公式 p2?p?2meEk电子的能量: Ek?2me 21
hh?????由德布罗意波长公式: p2meEK ?? 1.226nm E1.2261.2261.226??nm?0.0388nmnm?0.388nm ?2?nm?0.1226nm 3100010100 ?1?
3-2 设光子和电子的波长均为0.4nm，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？ （2）光子的动能与电子的动能之比是多少？ 解：（1）由??h可知光子的动量等于电子的动量，即p光子:p电子=1:1 p（2）由 光子动能与波长的对应的关系
?光子1.24?nm E光子(KeV)1.22621.226?nm E电子?()nm E电子?电子E电子1.24?103?0.4??329.96 21.226电子动能与波长的关系 ?电子E光子 则知
3-3 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少? 解： （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：
22 k0E?mcE?E?mc22mc?2mc m?2m0 0m01m??2m0?422v v1?21?2cc1v23v2?1?2 ?2
4c4c 所以
3c?0.866c v?4
22
（2） 根据电子波长的计算公式：
??
1.226nm1.226nm??0.001715nm
Ek(eV)511?103eV 3-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量．若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为30°,试求这些热中子的能量． 解：根据布喇格衍射公式 nλ=dsinθ λ=dsinθ=0.18×sin30°nm=0.09 nm
1.226nm??
Ek(eV) 1.226nm22E?()?13.622eV?185.56eV k?
3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正．试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：
1.226??nmVr-6
式中Vr=V(1+0.978310V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特．
分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解. 证明： 根据相对论质量公式 m?m0v21?()c 将其平方整理乘c,得其能量动量关系式 2v2222222222m[1?()]c?mcmc?pc?m0 0c c2E2?p2c2?m02c4 E?Ek?mc02 Ek?E?E0 1112242224p?E?m0c?(Ek?m0c)?m0c?Ek(Ek?2m0c2) ccc 23
h???p
hcEk(Ek?2mec2)?hc2mec22mec2Ek(Ek?2mec2)?1.226Ek(Ek?2mec2)2mec21.2261.2261.226????6VVrV(1?0.9785?10V)V(?1)2mec2
题意得证.
3-6 (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于
?E??E? ????1? 式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量．(康普顿波长λc=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)
(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? 证明：根据相对论能量公式 m?m0v1?()2c 将其平方整理乘c 2v2222222222m[1?()]c?m0c mc?pc?m0c cE2?p2c2?m2c4 E?E?mc2 Ek?E?E0 20k0p? 111E2?m02c4?(Ek?m0c2)2?m02c4?Ek(Ek?2m0c2) cccp?1111E2?m02c4?(Ek?m0c2)2?m02c4?Ek(Ek?2m0c2)?(E?E0)(E?E0) cccc（1）相对论下粒子的德布罗意波长为： hhchc???? 2p(E?E0)(E?E0)E2?E0 粒子的康普顿波长为 hhchc?c???2m0cm0cE0 24
?c?? hcE0hc(E2?E20)?(E2?E02)E0E2?()?1E0 （2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长 E2()?1?1E0 E2()?2,E?2E0E0 E?2E0?2?511?722.55KeV Ek?E?E0?722.55?511?211.55(KeV) 则电子的动能为211.55KeV. 则电子的动能为211.55KeV
注意变换：1. ΔP转化为Δλ表示; 2. ΔE转化为Δν表示;
???10?7，试问该原子态的寿命为多长? 3-7 一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为?
解： 依
?E?t?h 求Δt
??cE?h??h ?E?hc2? ?
???????600?10?9?107??9?t?E??t?????1.6?10s 822?E2hc??4?c??4?3.14?3?10
3-8 一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能． 解： ?x?px?? 粒子被束缚在线度为r的范围内，即Δx = r 2那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：?px?∵ ?px
? 2?x?[(px?px)2] px?0 25