（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6CE=2r=，OM=6﹣=； ，则﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=，然后判断，利用中位线性质得BE=2OM=Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC． 解答： 解：（1）PC与圆O相切，理由为： 过C点作直径CE，连接EB，如图， ∵CE为直径， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC与圆O相切； （2）∵AD是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM=BC=3， ∴AC=AB=9， 在Rt△AMC中，AM==6， ﹣r， ﹣r）=r，解得r=22设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6在Rt△OCM中，OM+CM=OC，即3+（6∴CE=2r=∴BE=2OM=，OM=6， ﹣=， 2222， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴即=， =， ∴PC=． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质． 23．（2013?重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 2分析： （1）由抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标； （2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为22y=x+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； ②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 2解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线x=﹣1对称， ∵点A的坐标为（﹣3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）； （2）①a=1时，∵抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=2． 222将B（1，0）代入y=x+2x+c， 得1+2+c=0，解得c=﹣3． 2则二次函数的解析式为y=x+2x﹣3， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3． 设P点坐标为（x，x+2x﹣3）， ∵S△POC=4S△BOC， ∴×3×|x|=4××3×1， ∴|x|=4，x=±4． 2当x=4时，x+2x﹣3=16+8﹣3=21； 2当x=﹣4时，x+2x﹣3=16﹣8﹣3=5． 所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）； ②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得，解得， 2即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3． 2设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x+2x﹣3）， QD=（﹣x﹣3）﹣（x+2x﹣3）=﹣x﹣3x=﹣（x+）+， ∴当x=﹣时，QD有最大值． 222 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 24．（2013?义乌市）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．
… 1 2 采购数量（件） … 1460 A产品单价（元/件） 1480 … 1280 B产品单价（元/件） 1290 （1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的
，且A产品采购单价不低于1200元，求该商
家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）设y1与x的关系式y1=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函数关系式即可求出； （2）首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案； （3）令总利润为W，根据利润=售价﹣成本列出W与x的函数关系式W=30x2﹣540x+12000，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可． 解答： 解：（1）设y1与x的关系式y1=kx+b， 由表知， 解得k=﹣20，b=1500， 即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x为整数）， （2）根据题意可得 ， 解得11≤x≤15， ∵x为整数， ∴x可取的值为：11，12，13，14，15， ∴该商家共有5种进货方案； （3）解法一：令总利润为W， 2则W=30x﹣540x+12000， 2=30（x﹣9）+9570， ∵a=30＞0， ∴当x≥9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，W最大=10650； 解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为： y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则A、B两种产品的每件利润可分别表示为： 1760﹣y1=20x+260， 1700﹣y2=﹣10x+600， 则当20x+260＞﹣10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润， 即x＞=11时，A产品越多，总利润越高， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，总利润最高， 此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650． 点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润，此题难度一般． 25．（2013?盐城）如图①，若二次函数y=
x+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于
2
正比例函数y=x的图象的对称点为C． （1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）利用待定系数法求出b，c的值； （2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y=x与x轴所夹锐角为60°，则可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标； （3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值． 解答： 2解：（1）∵点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y=x+bx+c上， ∴， 解得：b=﹣，c=﹣． （2）设点F在直线y=x上，且F（2，）． 如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=∴tan∠FOB==，∴∠FOB=60°． ，OH=2， ∴∠AOE=∠FOB=60°． 连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K． ∵点A、C关于y=x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．