决战高考
高考数学试题分类汇编——圆锥曲线含答案
一、选择题
x2y21.（2017全国卷Ⅰ理）设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的
ab离心率等于( ) （A）3 （B）2 （C）5 （D）6
y'解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y|x?x0?2x0.由题意有0?2x0又y0?x02?1
x0bb解得: x02?1,??2,e?1?()2?5.
aax22.（2017全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段AF交C于点B，若
2?????????????FA?3FB,则|AF|= (A).
2 (B). 2 (C).3 (D). 3
????????2解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,故|BM|?.又由椭
3222圆的第二定义,得|BF|????|AF|?2.故选A
233x2y23.（2017浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的两条
ab????1????渐近线的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2A．2 B．3 C．5 D．10 答案：C
【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，
??????ab?a22a2b2a2b???ab?ab?a2ab，则有，因BC?(,?),AB??,B?,,C(,?)???2222a?ba?ba?ba?b?a?ba?b??a?ba?b?????????2AB?BC,?4a2?b2,?e?5．
x2y24.（2017浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， ab????????PAB直线交y轴于点．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1132 B． C． D． 32225．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
????????1【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2x2y27.(2017山东卷理)设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率
ab为( ).
55A. B. 5 C. D.5
42b?22y?xbbxy?2【解析】:双曲线2?2?1的一条渐近线为y?x,由方程组?a,消去y,得x?x?1?0有唯一解,
aaab2?y?x?1?A．决战高考
b所以△=()2?4?0,
abca2?b2b所以?2,e???1?()2?5,故选D.
aaaa答案:D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
8.(2017山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.y2??4x B.y2??8x C. y2?4x D. y2?8x
aa【解析】: 抛物线y2?ax(a?0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y?2(x?),它与y轴的交点为
44a1aaA(0,?),所以△OAF的面积为||?||?4,解得a??8.所以抛物线方程为y2??8x,故选B.
2242答案:B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
x2y2??1的渐近线与圆(x?3)2?y2?r2(r?0)相切，则r= 9.（2017全国卷Ⅱ文）双曲线63（A）3 （B）2 （C）3 （D）6 答案：A
解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=3
10.（2017全国卷Ⅱ文）已知直线y?k(x?2)(k?0)与抛物线C:y2?8x相交A、B两点，F为C的焦点。
若FA?2FB,则k=
12222(A) (B) (C) (D)
3333答案：D
解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA?2FB及第二
定义知xA?2?2(xB?2)联立方程用根与系数关系可求k=11.（2017安徽卷理）下列曲线中离心率为6的是 222。 3（A）
xyx2y2x2y2x2y2 （B） （C）??1??1??1 （D）??1 24424641022c23b23b216[解析]由e?得2?,1?2?,2?，选B
a2a2a2212.（2017安徽卷文）下列曲线中离心率为
A.
的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B. C. D.
cx2y2c6【解析】依据双曲线2?2?1的离心率e?可判断得.e??.选B。
aaba213.（2017安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是
A．
B.
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D. 33【解析】可得l斜率为??l:y?2??(x?1)即3x?2y?1?0，选A。
22x2y214.（2017江西卷文）设F1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角
ab形的三个顶点,则双曲线的离心率为
35 A． B．2 C． D．3
22答案：B
c?c3【解析】由tan?有3c2?4b2?4(c2?a2),则e??2,故选B. ?a62b3x2y215.（2017江西卷理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若
ab?F1PF2?60?，则椭圆的离心率为
1132 B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2332答案：B
b23b2c3??2a,从而可得e??【解析】因为P(?c,?)，再由?F1PF2?60有，故选B
aaa3x2y216.（2017天津卷文）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程
ab为（ ）
12A y??2x B y??2x C y??x Dy??x
22C.
A．
【解析】由已知得到b?1,c?3,a?c2?b2?2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为
b2x??x a2【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。
x2y2x2y2?1的准线过椭圆?2?1的焦点，17.(2017湖北卷理)已知双曲线?则直线y?kx?2与椭圆至多有一
224b个交点的充要条件是
1??1?11???A. K???,? B. K????,????,???
2??2?22??????22?2??2,K???,?,??C. K??? D. ????????2??2?22???y??a22【解析】易得准线方程是x??????1
b2x2y2所以c?a?b?4?b?1 即b?3所以方程是??1
4322联立y?kx?2 可得 3x+(4k+16k)x?4?0由??0可解得A
22222x2y2??1(b?0)的左、18.（2017四川卷文）已知双曲线右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，2b2点
P(3,y0)在双曲线上.则PFPF2＝ 1·
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2?y2?2，于是两焦点坐标分别
决战高考 是（－2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,?1).不妨去P(3,1)，则PF1?(?2?3,?1)， PF2?(2?3,?1).∴PFPF2＝(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0 1·
19.（2017全国卷Ⅱ理）已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，
若|FA|?2|FB|，则k?
12222 B. C. D. 3333解：设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线 y?k?x?2??k?0? A.
恒过定
由
点P??2,0? .如图过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于N,
|FA|?2|FB|,则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则
1|OB|?|AF|, ?|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐
22?2022(1?,k2?2), ?故选D
1??(2)3x2y220.（2017全国卷Ⅱ理）已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右
abF,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF?4FB,离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o. 6759m A． B. C. D.
5585x2y2解：设双曲线C：2?2?1的右准线为l,过A、B分 别作
ab于M,BN?l于N, BD?AM于D,由直线AB的斜率为
1线AB的倾斜角为60???BAD?60?,|AD|?|AB|,
2由双曲线的第二定义有
标为
焦点为则C的
AM?l3,知直
??????????1???11???|AM|?|BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)?|AB|?(|AF|?|FB|).
e22????5????16又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? 故选A
e2521.（2017湖南卷文）抛物线y2??8x的焦点坐标是【 B 】
A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）
p解:由y2??8x,易知焦点坐标是(?,0)?(?2,0)，故选B.
222.（2017辽宁卷文）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
（A）(x?1)2?(y?1)2?2 (B) (x?1)2?(y?1)2?2
(C) (x?1)2?(y?1)2?2 (D) (x?1)2?(y?1)2?2
【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可 答案B
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x2y223.（2017宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
412（A）23 （B）2 （C）3 （D）1
3?4?0x2y2解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线y?3x的距离为d??23,选A
412224.（2017宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线?的方程为_____________.
2??y1?4x1A?x1,y1?,B?x2,y2?,则有x1?x2，?2??y2?4x2y?y242解析：抛物线的方程为y2?4x，两式相减得，y12?y2?4?x1?x2?，?1??1
x1?x2y1?y2?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x
25.（2017陕西卷文）过原点且倾斜角为60?的直线被圆学x2?y2?4y?0所截得的弦长为科网 （A）3 （B）2 （C）6（D）23 答案:D. 解析:直线方程y=3x,圆的标准方程x?(y?2)?4,圆心(0,2)到直线的距离d?223?0?2(3)?(?1)22?1，由垂径定
理知所求弦长为 d*?222?12?23 故选D. 26.（2017陕西卷文）“m?n?0”是“方程mx2?ny2?1”表示焦点在y轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案:C.
x2y21122??1, 根据椭圆的定义，解析:将方程mx?ny?1转化为 要使焦点在y轴上必须满足?0,?0,所以11mnmn11?，故选C. nm
x2y2?2?1(b?0)的左、27.（2017四川卷文）已知双曲线右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，2b点
P(3,y0)在双曲线上.则PFPF2＝ 1·
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2?y2?2，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,?1).不妨去P(3,1)，则PF1?(?2?3,?1)，
PF2?(2?3,?1).∴PFPF2＝(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0 1·
x2y228.（2017全国卷Ⅰ文）设双曲线2－2＝1?a＞0，b＞0?的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离
ab心率等于
（A）3 （B）2 （C）5 （D）6 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。
bxx2y2解：由题双曲线2－2＝1?a＞0，b＞0?的一条渐近线方程为y?，代入抛物线方程整理得
aab