决战高考
a?a2k22aka?a2k22ak故xT?,从而y?k(x?a)?亦即T(?). TT22222222a?ak1?ak1?ak1?akyT1?B(a,0),?kBT???2,故kSM?a2k
xT?aak由??x?a得S(a,2ak),所直线SM的方程为y?2ak?a2k(x?a)
?y?k(x?a)O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak?a2k(?a).
?a?0,K?0,?a?2 故存在a?2,使得O,M,S三点共线. 23.（2017辽宁卷文）（本小题满分12分）
3已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
2（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为
定值，并求出这个定值。
x2y2??1。 (22)解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为
1?b24b219322??1?bb因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。 221?b4b4x2y2??1． ．所以椭圆方程为 ．．．．．4分 433x2y2?1得 （Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入?2433（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
23设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以
234(?k)2?12， xE?223?4k3yE?kxE??k。 ．．．．．．．8分
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得
34(?k)2?12， xF?223?4k3yF??kxF??k。
2y?yE?k(xF?xE)?2k1所以直线EF的斜率kEF?F??。
xF?xExF?xE21即直线EF的斜率为定值，其值为。 ．．．．．．．12分
224.（2017辽宁卷理）（本小题满分12分）
3已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
2（3） 求椭圆C的方程；
（4） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为
定值，并求出这个定值。 （20）解：
决战高考
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为
31922b????1b?3，解得，（舍去）
41?b24b2x2y2?1。 ……………4分 所以椭圆方程为?433x2y2?1得 （Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入?2433(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
23 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以
234(?k2)?12 xF?2 23?4k3 yE?kxE??k ………8分
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
34(?k)2?12 xF?223?4k3yE??kxE??k
2y?yE?k(xF?xE)?2k1所以直线EF的斜率KEF?F??
xF?xExF?xE21即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分
225.（2017宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
OP（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并
OM说明轨迹是什么曲线。 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
?a?c?1,解得a?4,c?3， ??a?c?7x2y2?1 所以椭圆C的标准方程为?167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知
OPOM22??2及点P在椭圆C上可得
9x2?1122。 ??2216(x?y)整理得(16?2?9)x2?16?2y2?112，其中x???4,4?。
3
（i）??时。化简得9y2?112
4
47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 所以点M的轨迹方程为y??3决战高考
3（ii）??时，方程变形为
4x2y2??1，其中x???4,4? 11211216?2?916?2当0???当
3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?4的部分。 43???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的部分； 4当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；
26.（2017陕西卷文）（本小题满分12分）
y2x2525已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为。
ab25w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I） 求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若????????1AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。
3解析：
解法1（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线
25， 5ab25ab25所以所以 ??22c55a?b?ab25??5?c?a?2??5?c得?b?1 由??2?a?222?c?5?c?a?b???y2所以曲线C的方程是?x2?1
4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x
（?n,2n),m?0,n?0 设A(m,2m),Buuuruurm-?n2(m+?n),), 由AP??PB得P点的坐标为（1+?1+?y2(1??)22?x?1,化简得mn=将P点的坐标代入44? ax?by?0的距离为?14因为?AOB?2?,tan(??)?2,tan??,sin2??
225又OA?5m,OB?5n
111OA?OB?sin2??2mn?(??)?1 22?111记S(?)?(??)?1,??[,2]
2?311则S?(?)?(1?2)
2?所以S?AOB?决战高考
由S?(?)?0得??1
189又S（1）=2，S()?,S(2)?
33418当??1时，?AOB面积取到最小值2，当当??时，?AOB面积取到最大值
338所以?AOB面积范围是[2,]
325解答2（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?by?0的距离为，
5ab25ab25 ??即?225c5a?b?ab25??5?c?a?2??5?c得?b?1 由??2?a?222?c?5?c?a?b???y2所以曲线C的方程是?x2?1.
4（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m, 由题意知k?2,m?0
?y?kx?mm2m由?得A点的坐标为（,),
y?2x2?k2?k??y?kx?m?m2m由?得B点的坐标为（,),
2?k2?k?y??2xuuuruurm1?2m1?AP??PB,得P点的坐标为（(?),(?)
1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?将P点的坐标代入?x?1得 244?k?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m） S?AOB=S?AOQ?S?BOQ
111OQgxA?OQgxB?m(xA?xB)2221mm14m2?m(?)?g 22?k2?k24?k211?(??)?12??以下同解答1
27.(2017陕西卷理)（本小题满分12分）
y2x2525已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为。
ab25（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
决战高考
????????1AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。
328．（本小题满分14分）
y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
ab525离心率e?,顶点到渐近线的距离为.
25（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.????????1若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.
325解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为 ，5ab25ab25∴?,即?,
225c5a?b?ab25?a?2,,??5??c?b?1,?5y2?c, 得由?? ∴双曲线C的方程为?x2?1.
?42?ac?5,??c2?a2?b2???（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.
设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.
????????m??n2(m??n),), 由AP??PB得P点的坐标为(1??1??y2(1??n)22. 将P点坐标代入?x?1,化简得mn?44??114设∠AOB?2?,?tan(??)?2,?tan??,sin??,sin2??.
2225又
?|OA|?5m4|OB|?5n? 111?S?AOB?|OA|?|OB|?sin2??2mn?(??)?1.22?111S(?)?(??)?1,??[,2],记 2?3189由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,
33418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范
33.8围是[2,].
3解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m