决战高考
斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 （Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位OP?OA?OB???置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。 解：（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为
0?0?c2?c2
故 c2?22， c?1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 e?ca?33 得 a?3，b?a2?c2=2
（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为2x2+3y2=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)
C
上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为（x1?x2,y1?y2），2(x1?x2)2?3(y1?y2)2?6
整理得 2x22?2x221?3y12?3y2?4x1x2?6y1y2?6
又A、B在C上，即2x221?3y1?6,2x222?3y2?6
故 2x1x2?3y1y2?3?0 ①
将 y?k(x?1)代入2x2?3y2?6,并化简得
(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6k2于是 x?x3k2?612?2?3k2, x1x2=2?3k2, y?4k221y2?k(x1?1)(x2?2)?2?3k2
代入①解得，k2?2，此时x31?x2?2 于是y1?y2?k(x1?xk2?2)=?2， 即P(32,?k2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此， 当k??2时，P(322,2)， l的方程为2x?y?2?0； 当k?2时，P(322,?2)， l的方程为2x?y?2?0。 （ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。综上，C上存在点P(322,?2)使OP?OA?OB成立，此时l的方程为 2x?y?2?0. 12.（2017广东卷理）（本小题满分14分）
且
决战高考
已知曲线C:y?x2与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
51?0与D有公共点，试求a的最小值． （2）若曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?2515y解：（1）联立y?x2与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，设线2215xB ?s?t22段PQ的中点M坐标为(x,y)，则x?，即,y?22xA D 15s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上，
22ox5111∴2y??(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一点，且不
2281151115与点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?，∴中点M的轨迹方程为y?x2?x?（??x?）.
24484451?0， （2）曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?25749即圆E：(x?a)2?(y?2)2?，其圆心坐标为E(a,2)，半径r?
52551?0与点D有公共点； 由图可知，当0?a?2时，曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?2551?0与点D有公共点，当a?0时，要使曲线G:x2?2ax?y2?4y?a2?只需圆心E到直线l:x?y?2?025|a?2?2||a|77272??，得?的距离d?. ?a?0，则a的最小值为?5552213.（2017安徽卷理）（本小题满分13分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
xy0?x2y2x?y?1点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线l2与直线l1:02a2b2ab垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?.
x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；
ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列.
解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
x0y0x2y2b22解：（I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,
ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0.
aay0ay0y0?x?acos?将?0代入上式,得x2?2acos??x?a2cos2??0,从而x?acos?. ?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.
y?yxy0??0x?0y?122?b?a决战高考
(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。
b2b2x2y2a?x2,y0?a?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaabbx0b2x0??2, 椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??22ay0aa?x0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。
abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。
y0bx0b2y0a2a（II）tan???tan?,l1的斜率为?,l2的斜率为tan???tan?,
x0ay0a2x0b2b由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。
14.（2017安徽卷文）（本小题满分12分）
已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的 圆与直线y=x+2相切，
（Ⅰ）求a与b；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为p..求线段P
和
，直线过
且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点
垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。
x2y2c3【思路】（1）由椭圆2?2?1中a2?b2?c2及e??建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、
a3abb.
（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。
c2a2?b21b2232222??【解析】（1）由于e? ∴e?2? ∴ 又 ∴b=2,a=3因此，b??23aa2a2331?1a?3 . b=.2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
t（2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t≠0）.那么线段PF1中点为N(0,)，
2?????t??????????????t?MN?PF1?2x?t(y?)?0设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于MN?(?x,?y) . PF1?(?2,?t)则?消去参数t22??y?t得y??4x(x?0)
,其轨迹为抛物线（除原点） 15.（2017江西卷文）（本小题满分14分）
x2222如图，已知圆G:(x?2)?y?r是椭圆?y2?1的内接△ABC的内切圆, 其中A为椭圆的左顶点. 16（1）求圆G的半径r;
y（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点， M证明：直线EF与圆G相切．
． B解: （1）设B（2?r,y0），过圆心G作GD?AB于D,BC交长轴于H G AFGDHBy0r??由得, 0xADAH36?r26?r2C决战高考 r6?r (1) 6?r(2?r)212?4r?r2(r?2)(r?6)2???而点B（2?r,y0）在椭圆上,y0?1? (2) 16161626由(1)、 (2)式得15r2?8r?12?0,解得r?或r??（舍去）
354(2) 设过点M(0,1)与圆(x?2)2?y2?相切的直线方程为:y?1?kx (3)
922k?1则?,即32k2?36k?5?0 (4) 31?k2即 y0??9?41?9?41 ,k2?161632kx2将(3)代入?y2?1得(16k2?1)x2?32kx?0,则异于零的解为x??
16k2?11632k132k2设F(x1,k1x1?1),E(x2,k2x2?1)，则x1?? ,x??22216k1?116k2?1kx?kxk?k3则直线FE的斜率为：kEF?2211?12?
x2?x11?16k1k24解得k1?32k1232k13于是直线FE的方程为:y??1?(x?)
16k12?1416k12?137即y?x?
4337?223? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则圆心(2,0)到直线FE的距离d?391?16故结论成立.
16.（2017江西卷理）（本小题满分12分） y22xy??1已知点P为双曲线（b为正常数）上任一点,F2(x,y)100228bbP2P曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长AP1轴于P2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程; OF1F2(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点
Q（x1,y1）(y1?0),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.求以MN为直径的圆过两定点.
8（3b，0），（Ab，y0）解： (1) 由已知得F,则直线F2A的方程233y为:y??0(x?3b),
b 令x?0得y?9y0,即P2(0,9y0),
x0?x? ?x0?2x?x02y024x2y2??2?1, （x，y）设P,则?,即?y代入2?2?1得:2?2y?9y8bb8b25by0?0?y?0??5y05???2为双交yx证:
决战高考
x2y2?1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即P的轨迹E的方程为2?22b25bx2y2?1中令y?0得x2?2b2,则不妨设B(2) 在2?, （-2b，0），（D2b，0）22b25by1y1于是直线QB的方程为:y?(x?2b),直线QD的方程为:y?(x-2b),
x1?2bx1-2b2by1-2by1则M, （0，），N（0，）x1?2bx1-2b则以MN为直径的圆的方程为: x2?（y-22by12by1）（y?）?0,
x1?2bx1-2b22x2y22b2y1222x?2b?y1, ??1令y?0得:x?2,而在上,则Q（x,y）111252b225b2x1?2b2于是x??5b,即以MN为直径的圆过两定点(?5b,0),(5b,0). 17.（2017天津卷文）（本小题满分14分）
x2y2a2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点E(,0)的直线与椭圆相
cab交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|
（Ⅰ求椭圆的离心率 （Ⅱ）直线AB的斜率；
n（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求
m的值。
c32n22【答案】（1）e??（2）k??（3）?
a33m5|EF2||F2B|1【解析】 （1）解：由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得??,从而
|EF1||F1A|2a2?c1c322c?a?3c，整理得，故离心率 e??2a2a3?cc（2）解：由（1）知，b2?a2?c2?2c2，所以椭圆的方程可以写为2x2?3y2?6c2
a2设直线AB的方程为y?k(x?)即y?k(x?3c)
c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22?2x?3y?6c消去y整理，得(2?3k2)x2?18k2cx?27k2c2?6c2?0
33?k? 3318k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点，所以x1?3c?2x2 222?3k2?3k9k2c?2c9k2c2?2c22,x?k??联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得 232?3k22?3k23c2(3)由（2）知，x1?0,x2?，当k??时，得A(0,2c)由已知得C(0,?2c)
23依题意，??48c2(1?3k2)?0,?