决战高考 12.（2017广东卷理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．
3，且G上一点到G的2x2y23??1. 【解析】e?，2a?12，a?6，b?3，则所求椭圆方程为
369213.(2017年广东卷文)以点（2，?1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 . 25【答案】(x?2)2?(y?1)2?
225|2?1?6|5【解析】将直线x?y?6化为x?y?6?0,圆的半径r?,所以圆的方程为(x?2)2?(y?1)2? ?21?12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14.（2017天津卷文）若圆x2?y2?4与圆x2?y2?2ay?6?0(a?0)的公共弦长为23，则a=________.
1 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y? ，利用圆心（0，0）到直线的
a1||2距离d?a为22?3?1，解得a=1
1【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。
15.（2017四川卷文）抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2
x2y216.（2017湖南卷文）过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点作圆x2?y2?a2的两条切线，
ab 切点分别为A，B，若?AOB?120?（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 .
c解: ??AOB?120???AOF?60???AFO?30??c?2a, ?e??2.
a17.（2017福建卷理）过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45?的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p?________________
?y2?2pxpp2?2解析：由题意可知过焦点的直线方程为y?x?，联立有??0，又p?x?3px?24?y?x??2p2AB?(1?1)(3p)?4??8?p?2。
4x2y2?1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PF?PA18.（2017辽宁卷理）以知F是双曲线?412的最小值为 。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F?(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF?|＝2a＝4 而|PA|＋|PF?|≥|AF?|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F?三点共线时等号成立. 【答案】9
19.（2017四川卷文）抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2
20.（2017宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。
22【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1?x2＝k＝2×2，故y2?4x.
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21.(2017湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o，则双曲线C的离心率为 .
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚
bc36?tan30?，所以c?3b，所以a?2b，离心率e?? ?ca22x2y222.（2017年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，
ab且PF1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF半轴长，且一个内角是30?，即得c是焦半距)，
?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4cx2y223.（2017上海卷文）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且
abPF1?PF2。若?PF1F2的面积为9，则b? . ?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4c
三、解答题
1.(2017年广东卷文)（本小题满分14分）
3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F22的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.
x2y2【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;
ab?2a?12??a?6?222?b?a?c?36?27?9 则?c , 解得 , ?3??c?33??2?ax2y2?1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所求椭圆G的方程为：?369(2 )点AK的坐标为??K,2?
11 SVAKF1F2??F1F2?2??63?2?63 22（3）若k?0，由62?02?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外，
若k?0，由(?6)2?02?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外； ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
2.（2017全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）
如图，已知抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、C、D四个点。 （I）求r得取值范围；
（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标 分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)的方程联立，消去y2，整
决战高考
理得x2?7x?16?r2?0．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（＊）
15,4).考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以． 2（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小
题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?x2)、D(x2,x2)。
有两个不相等的正根即可.易得r?(则由（I）根据韦达定理有x1?x2?7,x1x2?16?r2，r?(1则S??2?|x2?x1|(x1?x2)?|x2?x1|(x1?x2)
215,4) 2?S2?[(x1?x2)2?4x1x2](x1?x2?2x1x2)?(7?216?r2)(4r2?15)
令16?r2?t，则S2?(7?2t)2(7?2t) 下面求S2的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的
主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
1S2?(7?2t)2(7?2t)?(7?2t)(7?2t)(14?4t)
217?2t?7?2t?14?4t31283)??() ?(2323715 当且仅当7?2t?14?4t，即t?时取最大值。经检验此时r?(,4)满足题意。
62方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为：P(xp,0) 由A、P、C三点共线，则以下略。
y2x23.（2017浙江理）（本题满分15分）已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且
ab垂直长轴的弦长为1．
（I）求椭圆C1的方程；
x1?x2x17?得xp?x1x2?t?。
x1?x2x1?xp6 （II）设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处
的切线与C1交于点M,N．当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时，求h的最小值．
?b?12a?2?y?解析：（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4?2??1?b?1?a（II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?x?t?2t，直线MN的方程为
y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即
4??1t2?x2?4t2(t?h)?x2(?t2)h?因4?0线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有，为直
422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0，
x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?222(1?t)t?1设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?，由题意得x3?x4，即有t2?(1?h)t?1?0，其中的
2决战高考
?2?(1?h)2?4?0,?h?1或h??3；
422当h??3时有h?2?0,4?h2?0，因此不等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0不成立；因此h?1，当h?1422?t?2(h?2)t?h?4?时代入方程t2?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1代入不等式?1?16????0成立，因
此h的最小值为1．
4.（2017浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：x2?2py(p?0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为
17． 4 （I）求p与m的值； （II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t?0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
p解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y??，根据抛物线定义
2p171点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4??，解得p?
242?抛物线方程为：x2?y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m??2
（Ⅱ）由题意知，过点P(t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。
?t2?kt?t2?kt, 则M(,0)。 则lPQ:y?t?k(x?t)，当y?0,x?kk?y?t2?k(x?t)联立方程?，整理得：x2?kx?t(k?t)?0 2x?y?即：(x?t)[x?(k?t)]?0，解得x?t,或x?k?t
1?Q(k?t,(k?t)2)，而QN?QP，?直线NQ斜率为? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
k1?21y?(k?t)??[x?(k?t)]??lNQ:y?(k?t)2??[x?(k?t)]，联立方程? kk2?x?y?11整理得：x2?x?(k?t)?(k?t)2?0，即：kx2?x?(k?t)[k(k?t)?1]?0
kkk(k?t)?1 [kx?k(k?t)?1][x?(k?t)]?0，解得：x??，或x?k?t
k[k(k?t)?1]22(k2?kt?1)2k(k?t)?1[k(k?t)?1]2k??N(?,)，?KNM? 2222kk(k?t)?1?t?ktk(t?k?1)k??kk2而抛物线在点N处切线斜率：k切?y?x??k(k?t)?1k??2k(k?t)?2
k(k2?kt?1)2?2k(k?t)?2， 整理得k2?tk?1?2t2?0 ??MN是抛物线的切线，?22kk(t?k?1)222，或t?，?tmin? ???t2?4(1?2t2)?0，解得t??（舍去）
3335.（2017北京文）（本小题共14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?。
ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x?y?m?0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2?y2?5上，求m的值.
决战高考
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay22222?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?2（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，线段AB的中点为M?x0,y0?，
?2y2?1?x? 由?得x2?2mx?m2?2?0（判别式??0）, 2?x?y?m?0?x?x ∴x0?12?m,y0?x0?m?2m,
2∵点M?x0,y0?在圆x2?y2?5上，
∴m2??2m??5，∴m??1.
6.（2017北京理）（本小题共14分）
x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x? ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交 于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay22222?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?2（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上，
圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2.
2x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?2222?4?x2?4x0x?8?2x0?0， 由?及x0?y0?2得?3x02?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2，
2222?4?3x0?4??8?2x0∴3x0?4?0，且??16x0??0，
设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4