2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20004008 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 朱力 2. 成丕富 3. 刘盈溢 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 郑洲顺
日期： 2007 年 9 月 24日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘要
本文根据中国的实际情况、近十年来的相关数据和人口增长的特点，根据人口发展方程
?p?r??p?t??u(r,t)p(r,t)和
Leslie模型x(t)?Ltx(0)，建立了中国人口增长的连续模
型和离散模型，预测了中国人口增长的短期和中长期趋势。
首先，对中国2001-05年的人口数据进行统计回归分析，得出死亡率随时间的变化很小，可以表示为u(r,t)=u(r)?1?e???u(s)ds?p0(r?t)er?tp(r,t)??r?u(s)ds??f(t?r)e0?r2r17.1912?0.0108r?0.0009r2，故可得出人口发展方程的解析解
为
0?t?rt?r，其中p(r,0)?p0(r)为初始密度函数，
p(0,t)?f(t)??(t)?h(r,t)k(r,t)p(r,t)drr12为婴儿出生率。用多项式拟合得出性别比为
?0.000717278tk（r,t）?0.0000752r?0.001741273r?0.44857493和初始人口密度函数
（16次多项式），给出生育模式h(r)?(r?151)24.53.5e?r?1512?(4.5)，总和生育率?(t)?1.8，建立
了中国人口年龄结构增长的连续模型。将2001年的人口密度作为初始密度，预测了2002-05年的人口密度，结果与实际数据吻合较好；用此模型预测2006-2020年的人口密度，得到2020年人口总数为13.9536亿。
其次，基于Leslie模型，对1995-2005年的中国人口数据进行分析，得出各年龄女性人口的死亡率和育龄妇女各年龄的生育率，建立了中国女性人口年龄结构增长的离散模型x(t)?Ltx(0)。将2001年的女性人口结构作为x(0)，预测了2002-05年的女性人口结构的变化情况，结果与实际数据吻合较好；用此模型预测2006-2020年的女性人口结构，得到2020年的女性人口总数为6.7189亿，人口总数为13.712亿。
上面的预测中，认为在短期内死亡率函数和时间无关，所以不能用来预测中长期的人口结构。对此我们引入衰减因子X(t)?1?kt，则u(r,t)?X(t)1?e17.1912?0.0108r?0.0009r2，
这样对上面连续的模型进行了改进。用改进的模型预测了2021-2050年的人口密度，得到了2050年的人口总数为13.6297亿。
最后，对预测结果分析得出：中国人口总数将持续增长，到2035年达到峰值，此后人口总数缓慢下降; 平均年龄和平均寿命将持续增长; 中国人口老龄化进程加快; 依赖性指数也呈增长趋势。
本文最后对模型的优缺点进行了分析评价，并对不足之处提出了改进的方向。
关键词： 人口密度函数 人口发展方程 Leslie矩阵 人口指数
1
一、问题的重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
本文将从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
二、基本假设
(1) 各年龄段的市、镇、乡男女出生比例不随育龄妇女年龄的变化而变化； (2) 不考虑人口的迁移对人口密度变化的影响；
(3) 总和生育率?(t)=1.8，且在之后较长一段时期内保持不变；
三、模型的准备
根据《中华人民共和国国家统计局》全国年度统计公报[1]，2001—2005年的全国人口总数如下表
表1 2001—2005年的全国人口总数
年份 2001 2002 2003 2004 2005 年末总人口数（万人） 127627 128453 129227 129988 130756 增长率（%） 0.647198476811 0.602555020124 0.588886223467 0.590823768348
四、中国人口增长连续模型
4.1 符号说明
N(t)：时刻t人口的总数： rm：人的最高寿命：
2
F(r,t)：表示在t时刻一切年龄小于r的人数，称为人口年龄分布函数
其中r表示年龄，t表示时间
显然有：当r2?r1时，有F(r2,t)?F(r1,t)
p(r,t)：表示在时刻t年龄为r的人数，称为人口年龄分布密度函数
显然有： p(r,t)?0 p(rm,t)?0
F(r,t)和p(r,t)之间的关系：
p(r,t)??F(r,t)?rr
F(r,t)??0p(?,t)d?
rmF(rm,t)??0p(?,t)d????0p(?,t)d?
在时刻t年龄在r1到r2之间的人口为： F(r2,t)?F(r1,t)?M(r,t)：表示在时刻t年龄为ru(r,t)：表示在时刻t年龄为r?r2r1p(?,t)d?
的人的死亡人数，称为人口死亡分布密度函数
的人的死亡率
其中 u(r,t)?u(r,t)p(r,t)drM(r,t)p(r,t)
表示时刻t年龄在[r,r?dr)内单位时间死亡的人数。
4.2 模型的建立
4.2.1 人口发展方程
为了得到p(r,t)满足的方程，考察时刻t年龄在[r,r?dr)内的人到时刻t?dt的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为[r?dr1,r?dr?dr1)，这里dr1?dt。而在dt这段时间内死亡的人数为u(r,t)p(r,t)drdt。于是
p(r,t)dr?p(r?dr1,t?dt)dr?u(r,t)p(r,t)drdt 上式可写作
[p(r?dr,t?dt)?p(r,t?dt)]dr?[p(r,t?dt)?p(r,t)]dr??u(r,t)p(r,t)drdt
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