?b0`??s1?L??????0?b20?b890?s2?s890b90???0??? ????0??则式(4)和(5)可表示为：
x(t?1)?Lx(t), t?0,1,2,? (7) 任意时刻t女性人口年龄从0到90+的分布为
x(t)?Ltx(0),t?1,2,? (8) 可进一步将br(t)分解为
r2 br(t)??(t)hr， ?hr?1
r?r1其中hr为生育模式，而?(t)满足 ?(t)?r2?br?r1r(t)
是第t年所有育龄女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期所及的时间内保持生育率不变，则?(t)就是第t年年龄为i1的每位女性一生平均生育的女儿数，即总和生育率(或生育胎次)，是控制人口数量的主要参数。
为了清楚地表明?(t)的作用，将L矩阵作如下分解，记为
?0??s1A??0?????000s20?????sn?1???0???00???00?， B????????0??0???0?hi1??hi2?0?????????0??0? ???0??式(7)应表示为
x(t?1)?Ax(t)??(t)Bx(t) (8)
在控制理论中x(t)为状态变量，?(t)为控制变量，式(8)对于x(t)和?(t)都是线性的，称双线性方程。
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5.3 模型的数据扩展与Leslie矩阵的确立
5.3.1 模型的数据扩展
我们希望通过女性个体繁殖率与存活率的多组数据统计推断得到Leslie矩阵，由题目所给的数据，我们只有2001年—2005年的抽样数据，数据量不够多，而题目还给出了1994—2005年市、镇和乡育龄妇女生育率(其中2000年数据空缺)。为了得到1994—2006年(舍弃2000年)各年龄妇女的生育率来和2001到2005年的数据共同参与到Leslie矩阵的统计推断，我们要对育龄妇女生育率进行拆分。而题目已知市、镇、乡育龄妇女的生育率，我们还需要根据市、镇、乡人口的比例确定出总体育龄妇女的生育率。那么问题需要分三步进行。
Step1：估计出1994—1999年的市、镇、乡人口分布比例
随着年份的增长，农村人口不断涌进市和镇，导致市和镇人口分布比例越来越大，乡人口分布比例越来越小。基于这个事实以及2001—2005年市、镇、乡妇女人口分布比例变化不大的特点，我们采用线性函数模型对2001—2005年市、镇、乡妇女人口分布比例(数据见表5)进行拟合，见图15。由图15知，拟合效果很好，故可用此线形模型对1995—2000年市、镇、乡人口分布比例进行估计，结果见表6。
表5 已知抽样数据2001—2005年市、镇、乡人口比例分布
城 镇 乡
2001 2002 0.2616313 0.1254656 0.6129031 2003 0.2601726 0.1521819 0.5876455 2004 0.2582276 0.1535619 0.5882105 2005 0.2771675 0.1712599 0.5515726 0.241997 0.129658 0.628345 表6 估计出的1995—2000年市、镇、乡妇口比例分布 城 镇 乡
1996 1998 2000 1995 1997 1999 0.20629 0.21298 0.21968 0.22637 0.23306 0.23976 0.057385 0.068515 0.079645 0.090775 0.10191 0.11304 0.73633 0.7185 0.70068 0.68285 0.66503 0.64721 20
0.80.70.60.50.40.30.20.101995镇乡城1996199719981999200020012002200320042005 图20 2001—2005年市、镇、乡人口分布比例的线性拟合
Step2: 根据Step1中得到的1994—1999年的市、镇、乡妇女人口分布比例，作
为相应的市、镇、乡育龄妇女生育率的权重，求出加权平均数，即为育
龄妇女的生育率l(r)。
Step3：根据生育模式h(r)的?函数分布，将1994—2005年(没有2000年)的育
龄妇女的生育率拆分成年龄从15—49的妇女的生育率。具体算法如下：
在人口发展方程模型中，有： 生育模式h(r)?l(r)?maxl(r)0?r?90?
Ⅰ 由h(r)和l(r)的平均值对应关系有： h(r)?l(r)?maxl(r)0?r?90?
Ⅱ 易知h(r)?1r2?r1，可得 maxl(r)?0?r?90?l(r)?h(r)
Ⅲ 从而有： l(r)??maxl(r)h(r)
0?r?90?
5.3.2 Leslie矩阵的确立
通过5.3.1我们得到了从1995到2005年(没有2000年)育龄妇女各年龄段的生育率，利用MATLAB7.0.1绘出育龄妇女生育率曲线(见图21)，同时也绘出了2001年到2005年女性人口死亡率的曲线(见图22)
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0.0140.0120.010.0080.0060.0040.00201520253035404550 图21 1995到2005年育龄妇女各年龄段的生育率曲线
3002502001501005000102030405060708090 图22 2001到2005年各年龄段的女性人口死亡率曲线
观察图21可知，除去2003年的生育率曲线外，其余各年的生育率曲线基本
相同，因此Leslie矩阵第1行中的生育率br(r?0,1,2,?90?)应该是这10条曲线上的数据求算术平均值。
观察图22可知，2001到2005年女性人口的死亡率曲线基本相同，因此Leslie矩阵中的存活率sr所对应的死亡率dr(dr?1?sr)应该是这4条曲线上的数据求算术平均值。
由此可以得到短期内的Leslie矩阵，它是一个常矩阵。
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5.4 模型的检验
根据2001年相关的人口数据，利用Leslie人口增长模型，将女性人口按性别比例换算成总人口后，预测出2002、2003、2004和2005年四年按年龄分布的人口数量xr(t)，其数据曲线分别见图22—图25。
图22预测的2002年人口密度函数曲线
图22 预测的2002年人口数量图 图23 预测的2003年人口数量图
图24 预测的2004年人口数量图 图25预测的2005年人口数量图
由这四幅图可知，预测出的按年龄分布的人口数量与实际情况非常吻合，充分说明了所建立的Leslie人口增长模型的合理性。
5.5 模型的求解
(1) 依据2001年已知的人口数据对2005年后的15年内的人口密度进行预测
以2005年按年龄分布的的人口按数量作为x0(t)，利用Leslie人口增长模型对未来的2006年—2020年的人口数量进行预测，利用MATLAB7.0.1绘出数据图形(见图26)
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