的u(r,t)计算，这些人的平均存活时间 S(t)???te??0u(r,t)dr??td?
S(t)实际上是预估寿命。通常说目前平均寿命已达到多少岁，是指今年出生
婴儿的预估寿命，即S(0)。根据统计资料得到当前的死亡率u(r,0)后就可以算出
S(0)。
(4) 老龄化指数w(t)：它定义为 w(t)?R(t)S(t)
显然，平均年龄R(t)越大，w(t)越大；对于R(t)相同的两个国家或地区，平均寿命S(t) 大的，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中占的比例大，于是老龄化指数w(t)较小。
(5) 依赖性指数(人口抚养比)?(t)： ?(t)? L(t)?N(t)?L(t)L(t)
?l2l1[1?k(r,t)]p(r,t)dr??l2''l1k(r,t)p(r,t)dr
其中，[l1,l2]和[l1',l2']分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，根据国家人口发展战略研究报告，[l1,l2]?[l1',l2']?[15,64]；L(t)是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数(人口抚养比)?(t)表示平均每个劳动者要供养的人数。
4.3 模型的求解
在假设死亡率大致与时间无关的前提下，可得解析解
???u(s)ds?p0(r?t)er?tp(r,t)??r?u(s)ds??f(t?r)e0?r0?t?rt?r (3)
把p0(r?t)、u(r)、f(t)的解析式代入式(3)，可得：
14
1?ds?2?r?ta?bs?cs161?e?0?t?r?[a16(r?t)??a1(r?t)?a0]erp(r,t)??1?ds2?r??(t?r)2h(r,t?r)k(r,t?r)p(r,t?r)dre01?ea?bs?cst?r?r1??r
从求解的要求出发，一定是先确定第t年，进而再确定这一年年龄为0—90+的函数值，但观察上式我们发现f(t)未知，而由前面生育率和生育模式中的
f(t)??(t)?h(r,t)k(r,t)p(r,t)drr1r2，我们需要联立式(3)和上式综合考虑，以求出
p(r,t)的具体数值。
算法的步骤为：
① 判断t与r的关系，求出p(r,t)的具体数值 Ⅰ 当0?t?r时，利用
的具体数值；
Ⅱ 当t?r时，利用p(r,t)?f(t?r)e?p(r,t)?p0(r?t)e??r?tu(s)dsr，求出年龄从t到90+的p(r,t)?0u(s)dsr
ⅰ 若r?0，则t?r?t，可利用之前求出的f(t?r)计算出p(r,t)； ⅱ 若r?0，则关键是要确定f(t)，转向步骤②；
② 利用①Ⅱⅱ中计算出的p(r,t)的具体数值，求出婴儿出生率f(t)：
p(r,t)是一个分段函数，若是将式(4)反代回式(12)中，计算将会非常复杂，但是我们通过①Ⅰ和h(r,t)、k(r,t)的解析式知道育龄期[r1,r2]内的各个年龄
r的具体数值，那么我们就可以通过辛普生数值积分的方法求出f(t)；
③ 利用②中求出的f(t)代入式(4)中的p(r,t)?f(t?r)e而求出当t?r时p(r,t)的具体数值。
4.4 模型的检验
??0u(s)dsr?f(t)e??0u(s)dsr，从
根据2001年相关的人口数据，利用人口发展方程模型，预测出2002、2003、
2004和2005年四年的人口密度函数p(r,t)，其函数曲线分别见图15—图18。
15
3000 2500 200030002500 20001500 1000 50015001000500001020304050607080900 图15 预测的2002年人口密度函数曲线 图16 预测的2003年人口密度函数曲线 3000 2500 2000300001020304050607080902500 2000 1000 150015001000 5005000 图17预测的2004年人口密度函数曲线
010203040506070809000102030405060708090图18 预测的2005年人口密度函数曲线 由这四幅图可知，预测出的按年龄分布的人口数量与实际情况非常吻合，充分说明了所建立的人口发展方程模型的合理性。
4.5 模型的应用
(1) 基于p(r,t)对2005年后的15年内的人口密度进行预测
以2005年的人口密度作为p0(r)，利用人口发展方程模型对未来的2006年—2020年的人口密度进行预测，利用MATLAB7.0.1绘出函数图形(见图19)
16
3000250020001500100050000102030405060708090 图19 预测出的2006年—2020年人口密度函数曲线
图19表示出随着年份的增加，人口密度函数曲线向右(向年龄增加的方向)
平移，人口峰值随之向右(向年龄增加的方向)平移，说明了人口向着老龄化的进程发展。
(2) 人口指数的计算
通过计算得到2006年—2020年的人口指数数据，见表4
表4 2006年—2020年的人口指数数据
年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 人口总数/万 130501.7338 131184.4558 131889.1583 132587.5663 133274.8157 133959.8675 134651.9765 135353.4936 136058.3458 136753.7647 137423.3026 138049.8965 138618.2979 139116.5618 139536.567 平均年龄 35.556 35.902 36.251 36.581 36.884 37.162 37.417 37.656 37.882 38.098 38.308 38.513 38.715 38.917 39.121 平均寿命 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 75.2769 老龄化指数 0.47234 0.47693 0.48157 0.48595 0.48998 0.49367 0.49706 0.50023 0.50324 0.5061 0.50889 0.51162 0.5143 0.51698 0.51969 依赖性指数 0.3879996 0.3817899 0.3785957 0.3784171 0.381249 0.3869979 0.3953986 0.4060286 0.4183998 0.4320762 0.4467484 0.4621854 0.4779678 0.4929149 0.5051283 五、中国人口增长的离散模型
17
5.1 符号说明：
xr(t)：第t年年龄为r的女性个体数量；
br(t)：第t年年龄为r的女性个体的生育率，即在第t年年龄为r的每位女性个体
平均生育的女儿数，育龄区间为[r1,r2]；
dr(t)：第t年年龄为r的女性个体的死亡率，在短时期内假设死亡率只与年龄有
关，则第t 年年龄为r的女性个体死亡率为dr；
第t年年龄为r的女性个体的存活率，在短期内假设死亡率只与年龄有关，sr(t)：
则sr?1?dr
5.2 模型的建立
我们将人口按年龄以1年为间隔等间隔地分成91个年龄组，人口通过女性 个体的繁殖而增长的，所以我们只研究女性个体数量的变化。
这里我们假设br和dr(从而sr)不随时段t变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。xr(t)的变化规律由以下的基本事实得到：时刻t?1年龄为1的女性个体数量是时刻t各年龄组生育数量之和，即
90? x0(t?1)??br?0rxr(t) (4)
时刻t?1年龄为r?1的女性个体数量是时刻t年龄为r的女性个体存活下来的数量，即
xr?1(t?1)?srxr(t), r?0,1,2,?89 (5)
记时刻t妇女年龄从0到90+的分布向量为
x(t)?[x0(t),x1(t),?x90?(t)]T (6) 由生育率br和存活率sr可构成Leslie矩阵
18