∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2， ∵BH=DF，EF=HE， ∵EF2
=BE2
+DF2
，
∴E、F是线段BD的勾股分割点．
②证明：如图4中，连接FM，EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°， ∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN， ∴△AFE∽△DFN， ∴∠AEF=∠DNF， =
，
∴
=
，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN， ∴∠DAF=∠FEN， ∵∠DAF+∠DNF=90°， ∴∠AEF+∠FEN=90°， ∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形， 同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM=
AF，AN=
AE，
∵S△AMN=AM?AN?sin45°，
26
S△AEF=AE?AF?sin45°，
∴==2，
∴S△AMN=2S△AEF．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D （1）①求抛物线的解析式；②求sin∠ACP的值 （2）设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，求出当这两个三角形面积之比为9：10时的m值；
③是否存在适合的m值，使△PCD与△PBD相似？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）①由直线解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值，
27
则可求得抛物线解析式；
②过B作BE⊥x轴于点E，在Rt△ABE中可求得sin∠ABE，则可求得sin∠ACP； （2）①用m可表示出C点坐标，则可表示出PC的长，利用其正弦值可表示出PD的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，则可用m表示DN和BM，由面积的比得到DC与BC的比，然后利用相似比可得到m的方程，可求得m的值；
③如图2，连接PB交x轴于Q，只有当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，于是可证明QA=QB，设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，利用勾股定理得到（4﹣t）2+32=t2，解得t=，则Q（
，0），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=
x﹣
，然后解方程组
得P点坐标，从而得到m的值．
【解答】解：（1）①当y=0时， x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0）， 当y=3时， x+1=3，解得x=4，则B（4，3），
把A（﹣2，0），B（4，3）代入y=ax2+bx﹣3得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣3；
②过B作BE⊥x轴于点E，如图1，AE=4﹣（﹣2）=6，AB=在Rt△ABE中，sin∠ABE=∵PC∥BE，
∴sin∠ACP=sin∠ABE=
（2）设P（m， m﹣m﹣3），则C（m， m+1），BM=4﹣m， ∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4， ∵sin∠ACP=
=
，
2
2
=3，
==，
；
28
∴PD=﹣m2
+
m+=﹣（m﹣1）2
+
，
当m=1时，线段PD长的最大值为
；
②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，如图， ∵sinP=sin∠BAE==，
∴
=
， ∴DN=（
m2
+
m+）=﹣m2
+m+，
∵DN∥BM， ∴
=
，
∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9：10， ∴当
=
=
，即
=
，
整理得2m2﹣13m+20=0，解得m1=，m2=4（舍去）；
当==，即=，
整理得9m2﹣68m+128=0，解得m1=，m2=4（舍去）；
综上所述，m的值为或；
③存在．
如图2，连接PB交x轴于Q， ∵∠PDC=∠BDP，
∴当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP， 而∠DPC=∠BAE， ∴∠BAE=∠ABP， ∴QA=QB，
设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，
在Rt△BQE中，（4﹣t）2+32=t2，解得t=，则Q（，0）， 设直线BQ的解析式为y=px+q，
29
把B（4，3），Q（，0）代入得，解得，
∴直线BQ的解析式为y=x﹣，
解方程组得或，
∴P（﹣，﹣），
∴m=﹣．
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