www.zgxzw.com 中国校长网 成立 所以??x(3x?2b)?0 (x?0)?x(3x?2b)?0 (0?x?2)??2b3?2?b??3
综合可得：b??3?f(1)?1?b?(4b?8)??3b?7?2
（3）f(x)?x3?bx2?(4b?8)?(x?2)[x2?(b?2)x?(2b?4)]?0可知，?,?是方程： x2?(b?2)x?(2b?4)?的两个根，所以 0??????(b?2)2?|???|??(??????2b?422 ?)??3??b?(2?)b)??3） b3?(2 （4 令g(b)?(b?2)2?4(2b?4)?(b?2)2?16，由b??3所以g(b)?g(?3)?9 所以|???|?3
例题3、已知函数f(x)?logax?3x?3
（1）若y?f(x)在[m,n] (0?m?n)有意义，判断y?f(x)在[m,n]的单调性； （2）判断是否存在0?a?1，使y?f(x)在[m,n](0?m?n)的值域为
[loagan?(1)a,almo?g(，并说明理由。
解：（1）
x?3x?3?0?x＜–3或x＞3. ∵f(x)在[m,n](0?m?n)，∴m＞3 x?3x?3?1?6x?3 令t(x)? 则f(x)?logat(x)
x?3x?3有复合函数的单调性可得：当0?a?1时，f(x)?loga 当a?1时，f(x)?loga或用导数f'(x)?x?3x?3?(x?3x?3在[m,n]单调递减；
在[m,n]单调递增。
6(x?3)2)logae可知：
在[m,n]单调递减； x?3x?3 当a?1时，f(x)?loga在[m,n]单调递增。
x?3（2）若f(x)在[m,n]上的值域为[logaa(n?1),logaa(m?1)]
∵0＜a＜1, f(x)为减函数.
当0?a?1时，f(x)?logax?3中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 m?3?f(m)?log?logaa(m?1)a??m?3∴? 即
n?3?f(n)?log?logaa(n?1)a?n?3?2??am?(2a?1)m?3(a?1)?0, n?m?3 ?2??an?(2a?1)n?3(a?1)?0即m,n为方程ax2?(2a?1)x?3(a?1)?0的大于3的两个根
?0?a?1?2??16a?16a?1?0?2?32?3?∴?2a?1 ∴0＜a＜ 故当0＜a＜时，满足题意
44?3??2a???af(3)?0条件的a存在.
例题4、已知函数f(x)?x2?(m?1)x?m(m?R)
（1）若tanA,tan内角.
求证：m?5；
（2）对任意实数?，恒有f(2?cos?)?0，证明m?3
（3）在（2）的条件下，若函数f(sin?)(??R)的最大值是8，求m 解：（1）f(x)?4?0即x?(m?1)x?m?4?0依题意：
???(m?1)2?4(m?4)?0???tanA?tanB?m?1?0 又A、B锐角为三角形内两内角 ∴＜A?B＜π
2?tanA?tanB?m?4?0?2B是方程f(x)?4?0的两个实根，A,B是锐角三角形ABC的两个
∴tan(A?B)＜0，即tan(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanB?m?1?m?3?0
?m2?2m?15?0?m?1?0??∴?m?4?0 ∴m≥5 ??m?1?0??m?3(2)证明：方法一：∵f(x)?(x?1)(x?m) 又?1?cos??1，
∴1≤2?cos?≤3，恒有f(2?cos?)?0
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www.zgxzw.com 中国校长网 即1?x?3时，恒有f(x)≤0即(x?1)(x?m)?0 ∴只需m?x ∴
m?xmax?3；
法二：?1?cos??1， ∴1≤2?cos?≤3，恒有f(2?cos?)?0 即
f(x?)21?x?3时
1)?x，
m?恒有
f(x)≤0， 所以由
x?(?m0 ?(1x?3?) 由图可知：只需f(3)?0?9?3m?3?m?0?m?3
(3)∵函数f(sin?)的最大值为8，由?1?sin??1，即f(x)在[?1,1]上的最
大值为8，f(x)?(x?m?12)?m?(2m?12)，由m?3?x?2m?12?2，故由
图可知函数在[?1,1]的最大值是当x??1时取得，所以
f(?1)?1?(m?1)?m?8?m?3
例题5、在数列{an}中，a1?1,an?an?1?an?2???a2n?1121n，若对于一切n?2的自然数，不等式
231n?2loga(a?1)?1n?1?恒成立，求实数a的取值范围.
???12n证明：令f(n)?an?1?an?2???a2n? 所f(?1n?212n?112n?2?（n?N*,n?2）
以
?n ?11n?3 ＝??1n?1?12n?1?12n?2?22n?2?12n?1?12(n?1)13?14??0
7127* ?f(n)为定义域{n|n?2,n?N}上单调递增，故f(n)min?f(2)?
an?1?an?2???an2?112loga(a?1)?23?112loga(?1?)a23?fnm(in)?
12?a?11?5?loga(a?1)?? ? ???1?a?112122?a?1?a?11例题6、已知正四棱锥P?ABCD的内切球半径为1，则四棱锥P?ABCD的体积最小值
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www.zgxzw.com 中国校长网 为 。 解：设正四棱锥的底面边长为2x，高为h，则由图可知： ?PQE??PFO,故： QEOFPEPOx1x?hh?1hh?222????(h?2)x?h
2显然h?2，所以x2?所以VP?ABCD?所以当h?2?13
4h?4[4?(h?2)?4]?43?[4?4]?323?(2x)?h?43h?23h?2
h?2注：此题消掉h化为x的函数也可，只是较难
?h?4时VP?ABCD取最小值
323。
?例题7、. 如图已知ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，河
流经过的路线是一条抛物线，且抛物线是以AB的中点为顶点，与AB垂直的直线为对称轴（河流宽度忽略不计）。某公司准备投资建一个大型的矩形游乐园PQCN（如图中所示，游乐园不能跨越河流）。是问：如何画边线才能使矩形游乐园的面积最大？求出
最大面积？
例题8、若函数f(x)?ax?32x的最大值不大于
216，且当
（1）求a的值；
（2）若0?a1? 解：（1）f(x)??16a?212,an?1?f(an),n?N,证明：0?an?a3)?2*1n?1
16322(x?16a，函数f(x)?ax?232x的最大值不大于
2，所以
16?a?1??1?a?1
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www.zgxzw.com 中国校长网 ?a31?1f()?0?4?2?16?0?111?2?x?[,]时，f(x)?，故只需????a?1 综合可
4281?f()?0?a?3?1?0???4?224得：a?1；
（2）用数学归纳法证明：
①当n?1时，由已知0?a1?12,显然满足0?an?32a1??16?12?1121n?1)?2 ，由
②当n?2时，a2?f(a1)?a1?0?a1?1232(a1??131316?0?a2?f(a1)?；
③ 假设n?k(k?2)，0?an?ak?k?1成立；
32(ak?13)?2④当n?k?1时，则an?ak?1?f(ak)?? 因为k?2，所以0?ak? 0?f(0?)ak?1?2k?12(k?1)216
1k?1?13，故由图可得：
12k?1，又 f(?)2k?12k(?1)k?42(k?1)(k?2)1n?12 ?1k?2???0?0?ak?1?1k?1?1?1k?21n?1；
所以当n?k?1时，0?an?也成立，故n?N*时0?an?都成立。
例题9（最后一问普通班可选做）、对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，
则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)?ax?(b?1)x?(b?1)(a?0) （1）若a?1,b??2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y?f(x)的图象与直线y?x交于A,B两点，且A、B关
于直线
y?kx?12a?122对称，求b的最小值。
解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3. 故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，
∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b－1)=0恒有两相异实根
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