www.zgxzw.com 中国校长网 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立， 于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.
（3）由题意A、B两点在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)
又∵A、B关于y=kx+
2
12a?1b2a2对称. ∴k=–1.设AB的中点为M(x′，y′)
∵x1,x2是方程ax+bx+(b–1)=0的两个根. ∴x′=y′=
?b2a?b2ax1?x22?12a?12??，又点M在直线y??x?a2a?1212a?12上有
，即b????12a?1a22
∵a＞0，∴2a+
1a≥22当且仅当2a=
1a即a=∈(0,1)时取等号，
故b≥–
122，得b的最小值–
24.
练习1、（1）关于x的不等式2?32x?3x?a2?a?3?0在x?[0,1]时恒成立，则实数a的取
值范围为 .
22解：设t?3x，则t?[1,3，]原不等式可化为a?a?3??2t?t,t?[1,3]，令
g(t)??2t? t2则需a?a?3?g(t)max于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.
2答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)
x（2）已知函数f(x)?loga[x?(2a)]对任意x?[,??)都有意义，则实数a的取值范
12围是( )
A、(0,
解：
x14] B、(0,
1214) C、［
14,1) D、(
14,
12）
x?(2a)?0在x?[x
,??)恒成立，则考查函数y1=x和y2=(2a)的图象，显然有
0＜2a＜1.由题意 答案：A
121?(2a)2得a=
14，再结合指数函数图象性质可得答案。 练习2、已知函数f(x)?ax?x?x?3 (a?0)，
①若函数在(2,??)上是增函数，求实数a的取值范围；
②若函数在(2,??)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
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32 www.zgxzw.com 中国校长网 解：①因为f'(x)?3ax2?2x?1，若函数在(2,??)上是增函数 则f'(x)?3ax2?2x?1?0，在(2,??)上恒成立， 所
2以3a?21x2?2?1221x) ?2?1x，令t?1x,x?2?0?t?12，
g(t)?t?2t?(t?1)?1(0?t? 则?34?g(t)?0, 3a?1x在(2,??)上恒成立，则3a?0?a?0。
1x2②要使函数在(2,??)上存在单调递增区间，则使3a?3a??31?a??. 44?2?1x有解集，故
?y?3ax2 本题也可用?的图象，或?(x)?f'(x)的图象也可求出，在此略。
?y?1?2x练习3、已知集合A?{(x,y)|y?x2?mx?2},B?{(x,y)|x?y?1?0,0?x?2}，若
A?B??，求m 的取值范围.
?y?x2?mx?22 解：A?B??，则??x?(m?1)x?1?0在[0,2]上有解；
?y?x?1(0?x?2)方法一：由x?0不是方程的解，故只要方程在(0,2]上有解，所以
2 ?x?(m?1)x?1?0?m?1?(x?1x)在(0,2]上有解，令g(x)?1?(x?1x)，用导
数可易求得：
g(x)?g(1)??1，所以m??1
方法二：用函数t(x)?x?(m?1)x?1在[0,2]上有零点，讨论函数t(x)的图象易求出结果； ?y?x2?1方法三：用?的图像关系，但此种方法较难理解。
?y?(1?m)x2
y?(1?m)x的斜率k?1?m?k切线，可得到结果。
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www.zgxzw.com 中国校长网 练习4、已知f(x)?ax3?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立，试确定a的值，并说明理由。
解：方法一：由f(x)?ax3?3x?1对于x?[?1,1]总有f(x)?0成立，
?0?x?1??1?x?0??由x?0时f(x)?1?0恒成立，所以只需保证?31 和?31同时恒
?a?2?3?a?2?3xxxx??成立
用导数可求出a?4
方法二：通过讨论求出函数f(x)?ax3?3x?1的最小值，保证最小值大于零即可；
因为f'(x)?3ax2?3，所以
（1）当a?0时，f'(x)?3ax2?3?0在x?[?1,1]恒成立，所以函数在x?[?1,1]上单调递增
f(x)min?f(1)?a?3?1?0?a?2与a?0矛盾；
'（2）若a?0，则f(x)?0?x?1a或x??1a 1a1a （Ⅰ）若0??f'(x)?0?1，即a?1时，由???1?x??a?1?x?1?1或?x?1
?f'(x)?0?? ???1?x?11a?x?1a，所以列表：
x －1 要??3（?1,?1a） ?1a (?1a,1a) 1a (1a,1) 1 f(x) '? ? 0 极大值 在0[?1,1]? 0 极小值 恒
成
立
? ? 只
需
f(x) ? 所以使3f(x)?0上，
1?a)??f(????1f(?)a??a?1a1(?a1?a?4符合题意. )??310中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 （Ⅱ）若1a?1?0?a?1时，f'(x)?0在区间[?1,1]上恒成立，所以函数在区间
[?1,1]单调递减
所以要使f(x)?0在[?1,1]上恒成立，则f(1)?a?3?1?0?a?2与0?a?1矛盾。
综合可得：a?4；
练习5、给定抛物线C:y?4x,F是C的焦点,过点F的直线l 与C相交于A,B两
点.设FB??AF,若???4,9?,求l在y轴上的截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，
所以l的方程为y?x?1.
将y?x?1代入方程y2?4x，并整理得 x2?6x?1?0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2?6,x1x2?1. 由题设FB??AF 得 (x2?1,y2)??(1?x1,?y1), ?x2?1??(1?x1),即 ?
y???y1.?2222222由②得y2??y1， ∵ y1?4x1,y2?4x2, ∴x2??x1.③
2① ②
联立①、③解得x2??，依题意有??0.
∴B(?,2?),或B(?,?2?),又F（1，0），得直线l方程为 (??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1), 当??[4,9]时，l在方程y轴上的截距为把
2?2???1或?2???1,
??1看作函数，设g????2??2?22???1,???4,9?
2? g??????1??1??1, 可知g??????1在[4，9]上是递减的，
（或用导数g??????342?4343??1????1???2?2?0，证明g???是减函数。）
34∴ ???1?,???1??43, 34]?[34,]. 43直线l在y轴上截距的变化范围为[?2,?练习6、已知关于x的方程sinx?acosx－2a= 0有实数解，求实数a的取值范围。
?sinxcosx?22解：方法一：a??cosx?1cosx?22， 令t?cosx?2??3?t??1
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www.zgxzw.com 中国校长网 所以可得a?g(t)?(t?2)?t21?4?(?tt3，)由导数或不等式不难得到：
0?g(t)??42，3
所以可得：a?[0,4?23]；
2方法二：?1?t?cosx?1，故要使方程sinx?acosx－2a= 0有实数解，
即使得方程：t2?at?2a?1?0在[?1,1]有解，故函数s(t)?t2?at?2a?1在[?1,1]有零点
作出图形可得：
a????1?2???a?[0,4?23] f(?1)f(1)?0或???0?f(?1)?0???f(1)?0
练习7、已知在正三棱锥P?ABC中，PC?1，求三棱锥的最大体积为。 解：设底面边长为x，高为h，则
33332x?1?0?x?3
V?1313?343433x?h，又h?(22x)?1?h?1?2213x?x?3(1?h)
222V??x?h?234h(1?h)(0?h?1)，所以V(h)?'34(1?3h)，列表可求出
2当h?
时取得最大值为16。
练习8、（1）设f(x)?1?2?lgx3??＋(n?)1?a?nnxxx，其中a是实数，
n?N,n?2，若f(x)在区间(??,1]有意义，则a的取值范围是 .
*解：
1?2?3???(n?1)?a?nnxxxx1x2xn?1x?0?a?()?()????()，
nnn中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com