3 层次分析法
层次分析法是解决定性事件定量化或定性与定量相结合问题的有力决策分析方法。它主要是将人们的思维过程层次化、，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供较具说服力的定量依据。层次分析法不仅可用于确定评价指标体系的权重，而且还可用于直接评价决策问题，对研究对象排序，实施评价排序的评价内容。本章简单地介绍层次分析法的主要内容，详细内容可参考文献[1]。
3.1 引言
在日常生活和科学研究中，我们经常面临着具有多因素影响的决策评价问题。这些因素中有些是可以定量描述的指标，有些却是无法定量刻画的定性指标，只能从性质上比较各指标的强弱。在处理这种复杂而模糊的问题时，如何尽可能地克服因主观臆断而造成的片面性，系统而全面地比较分析指标，从而科学地做出评价决策呢?美国学者T.L.Satty于20世纪70年代提出了以定性与定量相结合,系统化、层次化分析解决问题的方法，这就是层次分析法（Analytic Hiearchy Process），简称AHP。
层次分析法是一种比较简明的决策思维方式，它是把复杂的决策问题分解为多种组成属性，并将这些属性指标按支配关系分组形成有序的递阶结构，通过两两比较的方式确定层次中各指标的相对重要性，然后综合人的判断以决定各属性指标相对重要性的总顺序。这些都体现了AHP在解决问题时的基本特征：分解、判断、综合。
层次分析法是一种有力的决策工具，它具有许多突出的优点：（1）适用性。用AHP决策分析时，输入的信息主要是决策者的选择与判断，决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识。同时，层次分析法易于掌握使得以往决策者与决策分析者难于互相沟通的状况得到改变。在绝大多数情况下，决策者就可直接应用AHP进行决策分析，加大了决策的有效性。（2）实用性。AHP不仅能进行定量分析，而且还能够进行定性分析。它把决策过程中定性与定量因素有机地结合起来，用一种统一方式进行处理。AHP也是一种最优化技术，从学科的隶属关系看，人们往往把AHP归为多目标决策的一个分支。但AHP改变了最优化技术只能处理定量分析问题的传统观念，使它的应用范围大大扩展。许多决策问题如资源分配、冲突分析、方案评比、计划等均可使用AHP，对某些预测、系统分析、规划问题，AHP也不失为一种有效方法。（3）简洁性。AHP原理简单，掌握容易，计算步骤
清楚，结果简单明了。（4）系统性。人们的决策大体有三种方式。第一种是因果推断方式，在相当多的简单决策中，因果推断是基本方式，它形成了人们日常生活中判断与选择的思维基础。事实上，对于简单问题的决策，因果推断是够用的。当决策问题包含了不确定因素，则需要应用非因果关系进行决策推断，暂称为第二种决策方式，这包含了概率统计方式、模糊决策方式、灰色决策方式。近年来发展起来的系统方式是第三种决策思维方式。它的特点是把问题看成一个系统，在研究系统各组成部分相互关系以及系统所处环境的基础上进行决策。对于复杂问题系统方式是明效的决策思维方式。相当广泛的一类系统具有递阶层次的形式。AHP恰恰反映了这类系统的决策特点。
虽然说层次分析法有如此多的优点，但它在应用上还是有一些局限性，这是我们在做系统分析决策时必须注意的问题，应该设法避开或者结合其它方法代替AHP的这些不足。AHP的不足主要有如下三个方面。（1）AHP的应用主要是针对那种方案大抵确定的决策问题，一般来说它只能从已知方案中选优，而不能生成方案。也就是说，应用AHP时，事先对决策的各种方案要有比较明确的规定。（2）AHP得出的结果是粗略的方案排序。对于那种有较高定量要求的决策问题，单纯运用AHP是不适合的。当然，并不排斥把AHP与其它决策方法结合起来。例如，在运用多目标规划时，把AHP作为目标加权的方法已故为实践证明是有效的。也可采用AHP自身派生出来的一些方法。例如资源分配的AHP，成本效益分析的AHP，使某些定量分析要求精度不很高的问题有满意的解答。（3）在AHP的使用过程中，无论建立层次结构还是构造判断矩阵，人的主观判断、选择、偏好对结果的影响极大，也就是说AHP进行决策主观成分很大。规划论采用比较严格的数学计算，以期把人的主观判断降到最低程度，但得出的结果有时往往难于被决策者所接受。AHP的本质是试图使人的判断条理化，但所得到的结果基本上依据人的主观判断。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住。
总的说来，层次分析法已越来越广泛地应用于决策分析，虽然其理论还存在某种缺陷，但是它的应用价值是无容否认的。层次分析法在综合评价领域也起着举足轻重的作用，它不仅能够用于计算评价指标体系的权重，而且还能用于对评价对象评价排序。
3.2 AHP数学原理
在应用AHP解决决策问题时，有固定的计算步骤，这些步骤包含：（1）建立
研究对象的递阶层次结构；（2）选择比例标度体系，构造判断矩阵；（3）单层指标权重的计算及其一致性检验；（4）总的指标权重计算及其一致性检验。由于构造判断矩阵和单层权重的计算内容较多，后面分节介绍。这里讨论如何建立递阶层次结构，如何产生合成权重，如何处理递阶层次结构中的结构信息依存性问题。
3.2.1 建立递阶层次结构
对于考察的决策对象，当应用层次分析法进行系统分析时，首先就是要根据问题的内部因果将其分解为互不相交的不同属性层次，通常可表示为目标层（最高层）、准则层（中间层，可能不止一层）、方案措施层（最低层）。一般而言，上一层元素对相邻的下一层全部或部分元素具有支配作用，形成按层次从上至下的逐层支配关系，处于同一层内部的元素没有支配关系或依存关系，具有这种性质的层次就称为递阶层次。建立研究对象的递阶层次结构是应用层次分析法的核心内容。通用递阶层次结构图如下所示（图3-1）。
总目标
准则1 准则2 ?
方案1 方案2 ?
递阶层次结构图3-1
这里的递阶层次结构图是应用最多的普通三层结构。实际上，除了最高层的总目标和最后一层的方案层不能再细分以外，中间的准则层还可细分为一些子准则层。这些子准则层的多少没有限制，可以根据具体问题细分为两层、三层、四层等。
准则m 方案n 3.2.2 确定综合权重
对决策问题给出了递阶层次结构以后，就可讨论权重的计算。为了计算每个方案关于总目标的权重，假设准则层关于总目标的权重为
W1?w1,w2,?,wm?111?T （3.1）
方案层关于准则层的权重矩阵为
W22?w11?2?w21?????w2?n1w12w22?wn2222????2w1m??2w2m? （3.2） ???2?wnm?n?m对于矩阵W2，第j（j=1，2，?，m）列的值表示所有方案在第j个准则下的权重。则所有方案关于总目标的权重为
21 W?WW
如果有不止三层，则有类似的总权重计算公式
W?W?WWk21 （3.3）
其中的符号含义类似。至于这些权重是如何产生的，我们将在第四节介绍。
3.2.3 递阶层次中的结构依存性问题
对于决策问题计算的最终权重W，通常被用着排序。从上面的计算过程自然会问（3.3）这种合成计算总权重是否依然保序？回答是肯定的。但是，元素之间的依存性对保序性起着非常重要的作用。依存性主要有两种，一是功能依存性，一是结构依存性。此处仅讨论结构依存性，功能性依存见文献[1]。
结构依存性有两种：结构支配依存性和结构信息依存性。结构支配依存性，是定性依存性，包括层次间的外部依存性。在递阶层次结构中，一个层次的元素作为支配因素影响下一个层次因素的相对重要性，递阶层次并不考虑下一层次元素对上一层次元素的反馈支配作用。事实上这种反馈支配作用有时是存在的，例如，民主集中制下的组织机构不同层次之间就存在这种结构反馈依存性。递阶层次结构由此扩展到反馈系统结构，那里的排序不仅考虑方案对目标的排序，也考虑准则对方案的排序。反馈系统的排序问题有比较完整的理论，详细内容可参考文献[1]。
对于结构依存性是指结构信息依存性，即一个层次元素的排序权值根据与系统结构有关的信息加以调整所表现的依存性。递阶层次中的结构信息总是存在的，因此，结构信息依存性也总是存在的。
例3.1 在一所大学内要根据教学与科研两个方面的贡献对学校的教师进行考核，一个高度简化的递阶层次结构如图3-2。
第一层次为层次分析的目标，第二层次为教学与科研两个方面，第三个层次为被考核的教师。七名教师中一名未从事教学工作，五名未从事科研工作。假定第二层次两个因素教学与科研的排序权值分别为0.7，0.3，前六名教师相对教
学因素的排序权值分别为0.28，0.22，0.15，0.13，0.12，0.10，教师5，7相对于科研因素的排序权值为0.3，0.7，按照公式（3.3）可计算出这7名教师合成排序权重为
W=(W1,W2,?,W7)=(0.20,0.15,0.11,0.09,0.17,0.07,0.21) (3.4) 教师的贡献 教学 科研 教师2 教师3 教师4 教师5 教师6 教师7 教师1
大学教师对学校的贡献评价结构图3-2
这就是7名教师对大学的贡献值。如果这样的结果考查教师，则难于令人心服。因为从事教学与科研的人数不等，应该考虑人员比例对第二层权重进行调整，也就是利用结构信息对综合权重进行二次加权平均，这就是所谓的结构信息的依存性。
现在讨论结构信息依存性的一般处理方式。假设在m个准则C1，C2，，Cm下n个方案相对重要性的权重矩阵为（3.2），令
?w1?1??S1????0?w2?1?0??????1?wm?
其中
nwj??wk?1kj
则权重矩阵（3.2）每列规范化相当于W2S1。这种规范化表明在每一个准则下比较元素的相对重要性时，各准则处于同等重要的地位。准则的差别只有在组合规范时才能体现出来，这就是为什么将矩阵S1视为一种结构依存性的表示。通常情况下，这种结构信息是合理的，S1提供了方案对准则的权重不发生影响的结构信息。
但是，在大多数情况下每个准则下方案的数目对准则的权重有影响，由于方案数的不同，准则不再“一视同仁”地对待每一个方案，它在对方案起支配作用