时地位要发生变化。假定准则Ck支配的方案数是rk，即
mN??rk?1k
令结构信息矩阵
?r1?N??????0????? （3.5） ??rm?N?0S2r2N?以及结构信息矩阵
?N?r1?S3?????0????? （3.6） ??N?rm?0Nr2?为了实现每个准则所支配方案的多少对权重的修正，我们可以从两方面考虑结构信息矩阵（3.5）和（3.6）对权重的修正：
（1）如果考虑准则支配的方案越多，其相对重要性增加的比率越大，则权重规范合成后的权重为
WS1S2 （3.7）
2（2）如果考虑准则支配的方案越少，其相对重要性增加的比率越大，则权重规范合成后的权重为
WS1S3 （3.8）
2用结构信息矩阵可以根据所掌握的递阶层次结构中的两两比较判断以外的信息灵活地对合成排序施加影响，使决策过程更符合客观规律。
现在回到例3.1。利用结构信息矩阵
S2?6???8?0???0??2??8?
则7位教师通过教学与科研两方面对学校贡献的合成权重为
?0.28??0.22?0.15?W??0.13?0.12??0.10??00??0?0??6??0??8??0.3?0??0??0.7??0.147??0.116?0.079?0?0.7????????0.068?2??0.3????0.086?8??0.053??0.053???????????
经规范化后得7位教师对学校总贡献权向量为
W?(0.25,0.19,0.13,0.11,0.14,0.09,0.09)T （3.9）
对比（3.4）与（3.9）便知结论的合理性。
3.3 判断矩阵
对于复杂的决策问题，建立的递阶层次结构反映了决策属性因素之间的相互关系，例3.1的递阶层次结构图3-2就反映了大学教师对学校贡献的分析关系。一般的决策问题中各属性指标之间的关系可完全通过递阶层次结构图3-1反映出来。但是，每个准则在目标衡量中所占的比重并不相同，对于决策者而言，它们各占有一定的比例。在确定一个准则下诸因素所占比重时，最困难的问题就是“这种比重”不易量化。Saaty等人建议构造固定量化标准下两两比较判断矩阵的办法解决这一问题。因此，这里讨论AHP的比例标度和两两比较判断矩阵的构造问题。
3.3.1 AHP的比例标度
AHP从决策角度提出定性事件定量化的测度方式。测度过程存在两种标度，导出性标度和规定性标度。导出性标度用于被比较元素相对重要性的测度，标度值为区间[0，1]上的实数。利用两两比较判断矩阵，通过一定的数学方法如特征向量法导出测度结果。
规定性标度用于在给定准则下两个元素相对重要性的测度，属于比例标度。测量方法是两两比较判断，其结果表示为正的互反矩阵。对于比例标度问题，可以用多种标度值给出。但是这里还涉及到两个基本问题。一是人对事物属性做比较时，要保持判断的一致，其所能感知的最小差异是多少？这个问题属于实验心理学范畴。许多心理学家在这方面做过实验研究。AHP应用的是Miller的成果。G.A.Miller[2]认为，人在判断事物属性差异时，其最高差异极限为9。因此，比例标度最高可用1—9这9个整数表示事物属性差异。
人在判断时，被比较的对象属性应该相差不大，比较接近，否则定性分析无多大意义，例如我们没有必要将地球与物质组成的原子比较。当被比较对象属性差异较大时，需要将“小的因素”聚类，“大的因素”分解。当被比较因素属性差异接近时，人们的判断趋于用相等、较强、强、很强、绝对强这类语言表述。如果还要细分，则可以在相邻判断之间加入一档。因此，1—9之间的整数完全可以满足这种判断要求。注意，当一个因素比另一个因素的强度判断用上述数字表达时，后一个因素与前一个因素相比，其判断用这个数的倒数表达。
在实际应用中，1—9标度基本能够满足要求。有人提出，如果在某一准则下比较的元素较多，则9标度不能表达元素之间的差异，应该用更多的数字表达。例如，Saaty在1980年就列出了26种标度方法。但通过比较研究，还是9标度比较合理。如果比较元素较少，或者元素之间差异不大时，有人建议可以用更少数值标度，这就出现了所谓5标度，3标度等。但是，这些比例标度本质上没有多大差异。
为了应用方便，此处列出集中常见的比例标度，具体见表3-1、3-2、3-3、3-4。
9比例标度表3-1 xi比xj 量化值 绝对强 9 强 7 很强强 5较等 3 1 相7比例标度表3-2 xi比xj 量化值 5比例标度表3-3 xi比xj 量化值 3比例标度表3-4 强 很强 5 较等 3 1 相强 7 很强较强 5等 3 1 相xi比xj 量化值
强介于“强与相等”之间 32 等 相1 3.3.2 构造判断矩阵
对于给定的评价对象，假设有m个元素?x1,x2,?,xm?，需要确定其权重
W?(w1,w2,?,wm)T
在某一准则Ck下，选定AHP比例标度（表3-1—表3-4），根据各元素在准则下的相互重要性构造判断矩阵A??aij?m?m，其中aij表示第i个元素与第j个元素相比的相对重要性量化值，则矩阵A满足条件： （1）aij?0； （2）aij?1aji?i,j?1,2,?,m?
通常，我们将具有这两条性质的矩阵称为正互反矩阵。显然，正互反矩阵的对角线元素恒为1。
应用这种办法构造成对比较判断矩阵时，虽然能够减少其它因素的干扰影响，较客观地反映出各元素影响力的差异。但综合比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。事实上，如果比较结果完全一致，则判断矩阵还应该满足
aijajk?aik?1?i,j,k?m)? (3.10)
定义3.1 如果正互反矩阵满足（3.10），则此矩阵称为一致矩阵。 如果判断完全一致，则构造的判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造比较判
2断矩阵A一共要作Cm次比较，保证A是正互反矩阵是比较容易的，但要同时要
求所有比较结果严格满足一致性，这显然是非常困难的。尤其是比较两元素的重要性时，已经采用了1—9标度，带有一定的误差，自然不应该要求判断矩阵具有严格一致性。但是，又如何检验构造的判断矩阵具有满足要求的一致性呢？这就是所谓的一致性检验。为此，我们不加证明地引进下列结论以便应用。
定理3.1 如果矩阵Am?m是一致矩阵，则 （1）A必为正互反矩阵； （2）AT也是一致矩阵； （3）rank(A)=1；
（4）A的最大特征根?max?m，其余特征根为零。 （5）A的最大特征根对应特征向量W??w1,w2,?,wm?T满足
aij?wiwj,i,j?1,2,?,m
定理3.2正互反矩阵Am?m为一致矩阵，当且仅当?max?m。如果矩阵Am?m非一致，则有?max?m。
一致性检验包含两方面的内涵，一是单准则下判断矩阵的一致性检验，二是总的一致性检验。首先讨论单准则下的一致性检验。应用上面的定理，假设方案在准则k下的判断矩阵为Am?m，其最大特征根和特征向量如定理3.1和定理3.2，则可以根据?max?m是否成立来检验矩阵的一致性。如果?max比m大得多，Am?m的非一致性程度就越严重，?max的标准化特征向量就越不能真实地反映出
?x1,x2,?,xm?
的权重。因此，定义一致性指标
CIk??max?mm?1 (3.11)
和平均随机一致性指标RIk（一致性度量标准），见表3-5[1] 。
平均随机一致性指标标准值表3-5
m RI m RI
然后定义随机一致性比率
CRk?CIk3 0.52 10 1.49 4 0.90 11 1.52 5 1.12 12 1.54 6 1.25 13 1.56 7 1.35 14 1.58 8 1.42 15 1.59 9 1.46 RIk (3.12)
如果通过计算得
CRk?0.10 (3.13)
则认为构造的判断矩阵具有满意的一致性，否则，要重新调整判断矩阵，直到获得满意的一致性为止。
现在讨论总的一致性检验问题。假设递阶层次结构为三层，如图3-1，计算出的单层权重为（3.1）和（3.2），第三层各方案关于第二层每个准则的一致性