同理算符 的本征值也为 .
② 在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即
设
利用
B为厄密算符
即
又
取：
第五章 例题
重点：微扰论
1． 一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 质点 ，在重力作用
下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。
解：i ) 势能： 系统的哈密顿量
在小角近似下:
ii )若不考虑小角近似
又
利用公式
,
同样
2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假设它处于基态，若在加上一个弹力
作用 ，使用微扰论计算
对能量的一级修正，并与严格解比较。
解：i )
,
又
ii) 严格解
发生了变化
3． 已知体系的能量算符为
量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视 [解]：i) 精确解
, 其中 , 为轨道的角动
项为微扰项，求能级至二级近似值。
令 ， 并在 平面上取方向
：
与z轴的夹角为 ， 则