与
相互对易，它们的本征值分别为
体系能级为
ii)微扰法
的精确解为 本征函数
本征能量
按微扰论 利用了公式
能量二级修正为
在二级近似下
4． 三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函
数。如这振子又受到微扰 并和精确值比较。 [解]：
， 的作用，求最低的两个能级的微扰修正。
（1设 的能量本征函数为
代入方程
(2).基态的微绕修正
对基态 波函数
基态能级的零级
, 无简并
能量的二级修正: 唯一不等于零的矩阵元为
(3).第一激发态
三度简并
计算
不为零的矩阵元为
久期方程
可求出能量的一级修正 (4).精确解
令