直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换
（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：x?x1?x22,y?y1?y22，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。
2、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB??(x1?x2)?(y1?y2)?2222(x1?x2)?(kx1?kx2)?22(1?k)(x1?x2)
22(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]
22或者AB?(x1?x2)?(y1?y2)?(1kx1?1kx2)?(y1?y2)?22(1?1k2)(y1?y2)
2?(1?1k)[(y1?y2)?4y1y2]。 223、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1
两条直线垂直，则直线所在的向量v1?v2?0
4、韦达定理：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则
x1?x2??ba,x1x2?ca??。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题
1
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题
问题九：四点共线问题
问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、
直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:x24?y2m?1始终有交点，求m的取值范围
思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点
（0，?m),且m?4。
解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:x24?y2m?1过动点
（0，?m),且m?4，如果直线l:y?kx?1和椭圆C:x24?y2m?1始终有交点，则m?1，且m?4，
即1?m且m?4。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l:y?kx?1?过定点（0， 1） l:y?2?k(x?1)?l:y?k(x?1)?过定点（?，10）过定点（ ?，12）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线y?x2?3x?2 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A．4 B．3 C．2 D．1
分析：作出抛物线y?x?3x?2，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线y?x?3x?2 如图，点P（3，2）在抛物线
22
的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线y?x?3x?2 只有一个公共点的直线有一条。故选择D 规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图） 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
2
2
（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；
（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y2?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：y2?x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)?y?x232消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ①
1422222242由直线和抛物线交于两点，得??(2k?1)?4k??4k?1?0即0?k?2
② 由韦达定理，得：x1?x2??2k?1k22,x1x2?1。则线段AB的中点为(?22k?12k1222,12k)。
线段的垂直平分线方程为：y?12k??1k(x?1?2k2k2) ， 令y=0,得x0?12k2?，则E(12k2?12,0)
??ABE为正三角形，?E(
12k2?12,0)到直线AB的距离d为3
32AB。
?AB?(x1?x2)?(y1?y2)222?1?4kk22?1?k
22d?1?k2k ?31?4k2k22?1?k2?1?k2k 解得k??3913满足②式 此时x0?53。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的32倍，将
k确定，进而求出x0的坐标。
x22例题3、已知椭圆
2?y?1的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切
的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到
切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。
解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-上
21设M(-
12,t)，则圆半径：r=|(-
12)-(-2)|=
32
由|OM|=r，得(?1212)?t22?32，解得t=±2，
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±2)2=
94.
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)， 代入
x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
4
∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-4k2k22?1,
x0?12(x1?x2)??2k222k?1,y0?k(x0?1)?1kk2k?12
∴AB垂直平分线NG的方程为y?y0??2(x?x0)
令y=0，得xC?x0?ky0??122k22k?1?k222k?1??k222k?112??12?14k?22
∵k?0,???xc?0.∴点G横坐标的取值范围为（?,0）。
技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类
坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。 练习1：已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)过点(1,32)，且离心率e?12。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围。
81
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到a,b的关系式，再根据“过点(1,个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。
32)”得到a,b的第2
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出k,m的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点
1G(,0)，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得k,m的等式，用k表8示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。 解：（Ⅰ）?离心率e?12，?ba22?1?14?34，即4b?3a（1）；
22 5