又椭圆过点(1,)，则
231a2?94b2（1）式代入上式，解得a?4，b?3，椭圆方程为?1，
22x24?y23 ?1。
（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，弦MN的中点A(x0,y0) 由??y?kx?m?3x?4y?1222得：(3?4k2)x2?8mkx?4m2?12?0，
?直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点，
???64mk?4(3?4k)(4m?12)?0，即m?4k?3??????（1）
222222由韦达定理得：x1?x2??4mk3?4k28mk3?4k2,x1x2?224m?123?4k22，
则x0??,y0?kx0?m??4mk3?4k?m?3m3?4k2，
3m直线AG的斜率为：KAG??3?4k4mk3?4k22?18?24m?32mk?3?4k2，
由直线AG和直线MN垂直可得：
24m?32mk?3?4k2?k??1，即m??3?4k8k2，代入（1）式，可得
(3?4k8k2)?4k?3，即k?222120，则k?510或k??510。
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y?kx?m，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 练习2、设F1、F2分别是椭圆的两点C、D，使得分析：由
F2C?F2DF2C?F2Dx25?y24?1的左右焦点．是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同
？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
的直
得，点C、D关于过F2线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在
x25?y24?1的内部，可以设直线
l的方程为：
程，根定理
的坐
6
y?k(x?5)，联立方程组，得一元二次方
据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1
标，得斜率为?1k，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为：
y?k(x?5),(k?0)，C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点M(x0,y0)。
由??y?k(x?5)?4x?5y?2022得：(4?5k2)x2?50k2x?125k2?20?0，
15又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则?=(50k2)2?4(4?5k2)(125k2?20)?0，即0?k2?50k22。
由韦达定理得：x1?x2?224?5k,x1x2?125k?204?5k22，
则x0?x1?x22?25k4?5k,y0?k(x0?5)?k(25k224?5k20k?5)??20k4?5k2，M(
25k224?5k，?20k4?5k2)。
又点F2(1,0)，则直线MF2的斜率为kMF225k4?5k， ??2225k1?5k?124?5k?根据CD?MF2得：kMF?k??1，即
25k221?5k??1，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件
的直线。
老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。
题型三：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
xy3例题4、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
2ab22（I）求椭圆的方程； （II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的
方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以
7
求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。 解：（I）由已知椭圆C的离心率e?ca?32，a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为
x24?y?1
2（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)?22?x?4y?4(?1k12消y整理得
4x?2)2k?1x21 6?k21?640??2和x1是方程的两个根，??2x1?216k1?41?4k21 则
x1?2?8k11?4k12，y1?4k11?4k12，即点M的坐标为(2?8k11?4k122,4k11?4k12)，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(8k2?2221?4k21?4k2,?4k22)
?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2) ?k1?k2k1?k2??2t，
?直线MN的方程为：
y?y1x?x1?y2?y1x2?x1，
?令y=0，得x?x2y1?x1y2y1?y24t?2
，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?4t
又?t?2，?0??椭圆的焦点为(3,0) ?4t?3，即t?433 故当t?433时，MN过椭圆的焦点。
222方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程(1?4k1)x?16k2x?16k1?4?0的一个根，结合韦
达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：x1?2?8k11?4k122，
再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：y1?4k11?4k12；
2?y?k2(x?2)16k2?4222其实由?2消y整理得(1?4k2)x?16k2x?16k2?4?0，得到2x2?，即22x?4y?41?4k?2 8
x2?8k2?21?4k222，y2??4k21?4k22很快。
不过如果看到：将?2x1?8k2?21?4k22216k1?41?4k122中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，就得点N的
坐标(,?4k21?4k22)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少
计算量。
本题的关键是看到点P的双重身份：点P即
A1M上也在直线A2N上，进而得到
在直线
k1?k2k1?k2y?y1x?x1x???2t，由直线MN的方程
?y2?y1x2?x1得直线与x轴的交点，即横截距
x2y1?x1y2y1?y24t4t，将点M、N的坐标代入，化简易得
x?，由?3解出t?433，到此不要忘了考察t?433是否满足t?2。
另外：也可以直接设P(t，y0)，通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。再过点F，求出t值。
例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线l过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。
解（I）由题意设椭圆的标准方程为
xa22?yb22?1(a?b?0)
a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3 ?2x24?y23?1
?y?kx?m222A(x,y),B(x,y)（II）设得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0， 1122，由?22?3x?4y?12
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222222??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0
x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k22（注意：这一步是同类坐标变换）
y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?223(m?4k)3?4k222（注意：这一步叫同点纵、
横坐标间的变换）
?以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1，
y1y2?x1?2x2?222???1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，
3(m?4k)3?4k22?4(m?3)3?4k222?16mk3?4k2?4?0，
2k77m?16mk?4k?0，解得m1??2k,m2??，且满足3?4k2?m2?0
当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??2k7时，l:y?k(x?27)，直线过定点(27,0)， 综上可知，直线l过定点，定点坐标为(27,0).
名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为?1，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出l：y?kx?m，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。
练习：直线l：y?kx?m和抛物线y?2px相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线l：y?kx?m过定点，并求定点的坐标。
?y1y2分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OA?OB，若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则xx12?0，
2再
2通过
y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m222，将条件转化为
(k?1)x1x2?mk(x1?x2)?m?0，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到x1x2，x1?x2，
解出k、m的等式，就可以了。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由??y?kx?m?y?2px2得，ky?2py?2mp?0，（这里消x得到的）
2pk2mpk22则??4p?8mkp?0??????（1） 由韦达定理，得：y1?y2?，y1y2?，
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