问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、
等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） (2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: 点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；
????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？
xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两
若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E:
xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,
21?4?1??1?22???a2?8xy?a2b2?a28所以?解得?所以?2椭圆E的方程为??1
84?b?4?6?1?1?1?1222??b4?a?b????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,
?y?kx?m?解方程组?x2y2得x2?2(kx?m)2?8,即m??1?4?8设该圆的切线方程为y?k?x(1?2k)x?4kmx?2m?8?0,
222wwwk5uom
则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k2?m2?4?0 4km?x?x??122??1?2k?2?xx?2m?82?121?2k?22,
y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?k(2m?8)1?2k222?4km1?2k222?m?2m?8k1?2k222222????????2m?8m?8k22??03m?8k?8?0,所以要使OA?OB,需使x1x2?y1y2?0,即,所以221?2k1?2kk?23m?8822?m?282626222m?m?m???0又8k?m?4?0,所以?,所以,即或,因23333m?8?为直线y?k?x为m圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
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r?m1?k2,r?2m221?k?1?m223m?88?83,r?263,所求的圆为x2?y2?83,此时圆的切线
y?kx?m都满足m?263或m??263,而当切线的斜率不存在时切线为x??263与椭圆
x28?y24?1的两个交点为(22263,?263)或(?263,?263????????)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原
点的圆x?y?83????????，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB.
4km?x?x??122??1?2k因为?, 2?xx?2m?8122?1?2k?所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?224km1?2k2)?4?22m?81?2k22?8(8k?m?4)(1?2k)222222,
|AB|?(x1?x2)??y1?y2??22(1?k)(x1?x2)?22(1?k)28(8k?m?4)(1?2k)22 ?324k?5k?1??4234k?4k?142323[1?k4224k?4k?1],
①当k?0时|AB|?323[1?4k?211k14k?2] ?41832332314k?22因为4k?21k2?4?8所以0?1k2??4, 所以?[1?1k2]?12, ?4所以436?|AB|?23当且仅当k??22时取”=”.
wwwk5uom
② 当k?0时,|AB|?463.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(43263,?263)或(?43263,?263),所以此时|AB|?463,
综上, |AB |的取值范围为6?|AB|?23即: |AB|?[6,23]
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系
直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根
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与系数关系.
(2009山东卷文)（本小题满分14分）设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量???b?(x,y?1),a?b,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
?wwwk5uom（2）已知m?14,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知m?14,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1 何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. ??????解:（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1), 所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx2?y2?1. wwwk5uom 当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆 当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线. (2).当m?14时, 轨迹E的方程为 x24?y?1,设圆心在原点的圆的一条切线为y?kx?t,解方程组 2?y?kx?t?2得x2?4(kx?t)2?4,即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0, ?x2?y?1??4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 8kt?x?x??122??1?4k2222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 2?xx?4t?4122?1?4k?y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t?22k(4t?4)1?4k222?8kt2221?4k?t?2t?4k1?4k222, 22222????????4t?4t?4k5t?4k?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t?4k?4?0, 即5t?4k?4且t?4k?1, 即4k?4?20k?5恒成立. 所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线, 422222222所以圆的半径为r?t1?k2,r?2t221?k?5(1?k)1?k22?45, 所求的圆为x?y?2245. 38 当切线的斜率不存在时,切线为x??满足OA?OB. 255,与 x24?y?1交于点(2255,?255)或(?255,?255)也 综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?????????OA?OB. 1445，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 (3)当m?时,轨迹E的方程为 x24?y?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆 2C:x2?y2?R2(1 t1?k2, 即t2?R2(1?k2) ①, ?y?kx?t?由（2）知?x2得x2?4(kx?t)2?4, 即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解 2?y?1??4则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ② 2?23R?t?2?4?R由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,2?k2?R?12??4?Rwwwk5uom 8kt?x?x??12222?4t?416R?16?1?4k2由? 中x1?x2,所以,x1?, ?2221?4k3R?xx?4t?4122?1?4k?2B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y1?1?214x1?224?R3R22,所以|OB1|?x1?y1?5?22224R22, 4R2在直角三角形OA1B1中,|A1B1|?|OB1|?|OA1|?5?仅当R?当R?24R2?R?5?(24R2?R)因为?R?4当且 22?(1,2)时取等号,所以|A1B1|?5?4?1,即 2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 39 （2009江苏卷）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆 C2:(x?4)?(y?5)?4.（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截 22得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|k?124?(2232)?1， 2?1, 化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??2724 求直线l的方程为：y?0或y??724(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0 1kx?y?n?1km?0 (2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为： y?n?k(x?m),y?n??1kwwwk5uom(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。 故有：|?3k?1?n?km|k?12|??4k?5?n?1k21km|， ?1化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0,或??m?n?3?0?m+n-5=0wwwk5uom 解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。 2222（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分） 3x2y2??1(a?b?0)已知椭圆C: a 2 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B b 2 的离心率为 3 2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 22。 （Ⅰ）求a,b的值； 240