问题九：四点共线问题
例题10、（08安徽理）设椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)过点M(2,1)，且着焦点为F1(?2,0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上
????????????????取点Q，满足AP?QB?AQ?PB，证明：点Q总在某定直线上
22解 (1)由题意：
?c2?2?221xy?222 ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为 ??1
b42?a?c2?a2?b2?(2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。
????????????????????????APAQ由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记???????????,则??0且??1
PBQB????????????????又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB
于是 4? x?x1??x21??2222x1??x21??x1??x21??， 1?， y?2y1??y21??y1??y21??22
从而 ?4x，??（1）
y1??y21??2?y，??（2）
2222又点A、B在椭圆C上，即x1?2y1?4,??(3) x2?2y2?4,??(4)
（1）+（2）32并结合（3），（4）得4s?2y?4， 即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上
????????????????方法二 设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，PA,PB,AQ,QB均不为零。
????????PAPB????????????????且 ????????? 又 P,A,Q,B四点共线，可设PA???AQ,PB??BQ(??0,?1),于是
AQQBx1?4??x1??,y1?1??y1?? （1）x2?4??x1??,y2?1??y1?? （2）
22由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x?2y?4,整理得
(x?2y?4)??4(2x?y?2)??14?0 （3） (x?2y?4)??4(2x?y?2)??14?0 (4)
31
222222
(4)－(3) 得 8(2x?y?2?)? 0∵??0,∴2x?y?2?0 即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上
练习1、（08四川理）设椭圆
xa22?yb22?1 (a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?22，右准线
??????????为l，M、N是l上的两个动点，F1M?F2N?0．
??????????（Ⅰ）若|F1M|?|F2N|?25，求a、b的值；
????????????????????（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，F1M?F2N与F1F2共线．
解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧． （Ⅰ）由已知，F1(?c,0)，F2(c,0)． 由e?22，ca22?12，∴a2?2c2．又a2?b2?c2，
a2∴b2?c2，a2?2b2．∴l：x??????????????????????F2Nc?2cc2?2c，M(2c,y1)，N(2c,y2)．
延长NF2交MF1于P，记右准线l交x轴于Q． ∵F1M?F2N?0，∴F1M∴QN?F1Q?3c，QM∵
??????????F1M?F2N?25．F1M?F2N 由平几知识易证Rt?MQF1≌Rt?F2QN ，y2?3c．
2?F2Q?c 即
y1?c2，∴9c2?c2?20，c?2，b?2，a2?4．∴a?2，b???3c?0．
22．
（Ⅰ）另解：∵F1M?F2N?0，∴(3c,y1)?(c,y2)?0，y1y2又
??????????F1M?F2N?25?y1y2??3c2 联立?2，消去y12?9c?y1?20?22?c?y2?20??????????、y2得：(20?9c2)(20?c2)?9c2，
?2．
整理得：9c4?209c2?400?0，(c2?2)(9c2?200)?0．解得c2但解此方程组要考倒不少人．
??????????（Ⅱ）∵F1M?F2N?(3c,y1)?(c,y2)?0， ∴y1y2??3c2?0．
?????MN2?y1?y22?y1?y2?2y1y2222．
??y1?3c时，取等号．此时MN取最小值2 ??2y1y2?2y1y2??4y1y2?12c当且仅当y1??y2?3c或y2?????3c．
??????????F1M?F2N?(3c,?3c)?(c,?3c)此时． ??????(4c,0)?2F1F2?????????????????????????∴F1M?F2N与F1F2共线． （Ⅱ）另解：∵F1M?F2N?0，
∴(3c,y1)?(c,y2)?0，y1y2??3c2．
k 设MF1，NF2的斜率分别为k，?1．
y?k(x?c)由????x?2cy1?3kc， 由?y???1k??x?2c?(x?c)?y2??ck
33?????1MN?y1?y2?c?3k??23ck． 当且仅当3k?1k即k2?13，k??时取等号．
∴F1M???????????F2N?即当????MN最小时，k??3??????????c3，此时F1M?F2N?(3c,3kc)?(c,?)k????? ?(3c,?3c)?(c,?3c)?(4c,0)?2F1F2与F1F2共线．
?????点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何
可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．
32
问题十：范围问题（本质是函数问题）
例题1、已知直线y??x?1与椭圆xa22?yb22?1(a?b?0)相交于A、B两点。
（1）若椭圆的离心率为
33，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e?[,2122]时，求椭
圆的长轴长的最大值。
x2（07四川理）设F1、F2分别是椭圆
4?y2?1的左、右焦点。
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF12PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3， 所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则
??????????PF1?PF2??3?x,?y,???3?x,?y?x?y?3?x?1??222x24?3?1?3x42?8?
?????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2 ?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1
解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???23,0，设P?x,y?，则
????????????????????????????PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2?????PF1?????2??????PF2?F1F2?????????2PF1?PF22
1??x??2??3?2?y?x?2?3?2222??y?12?x?y?3（以下同解法一）
?? 33
（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx?21???联立?x2，消去y，整理得：?k2??x2?4kx?3?0
24??y?1???4∴x1?x2??4kk?214,x1?x2?23k?14
由???4k??4?k??2?331?2得：或 k??k??3?4k?3?0?224?????????????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0，∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
00222又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?23k2k?14??8kk?214?4??k?1k?214
∵
23k?14??k?1k?22142?0，即k?4 ∴?2?k?2
故由①、②得?2?k??32或32?k?2
（2009湖南卷文）（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。
解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为
xa22?yb22?1(a?b?0),焦距为2c，
由题设条件知，a?8,b?c, 所以b?2212a?4. 故椭圆C的方程为
2x28?y24?1
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x??4,所以点P的坐标(?4,0)，
显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。
如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，
34
?y?k(x?4),? 由?x2y2得(1?2k2)x2?16k2x?32k2?8?0. ??①
??1?4?8由??(16k2)2?4(1?2k2)(32k2?8)?0解得?2222?k?22. ??②
因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??2216k1?2k，于是
x0?x1?x22=?8k1?2k，y0?k(x0?4)?4k1?2k2
因为x0??8k221?2k?0，所以点G不可能在y轴的右边，
又直线F1B2,F1B1方程分别为y?x?2,y??x?2, 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
?4k?y0?x0?2, 即???1?2k2y?x?2.?0?04k8k222??1?2k8k???2,22?1?2k1?2k?2?2k?2k?1?0,??2, 亦即
?2??2k?2k?1?0.
解得?3?12?k?3?12，此时②也成立.
wwwk5uom故直线l斜率的取值范围是[?3?12,3?12].
35