题型八：角度问题
例题9、（08重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM?PN?6.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若PM·PN＝21?cos?MPN,求点P的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=a?c? 所以椭圆的方程为
x2225，
9?y252?1.
(Ⅱ)由PM?PN?1?cosMPN, 得 PM?PNcosMPN?PM?PN?2. ①
因为cosMPN?不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，1,P2MN?4,由余弦定理有MN?PM?22PN?22P?McPoNsM.PN ②
将①代入②，得 4?PM22?PN?2(PM?PN?2).
故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线x23?y?1上.
2 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足
x29?y25?1，所以
?33x??,????5x?9y?45,2 由方程组? 解得?
22?5??x?3y?3.y??.??222 即P点坐标为(332,52)、（332，-52）、（-332，52）或（?332，-52）.
练习1、（05福建理）已知方向向量为v=(1,3)的直线l过点（0，－23）和椭圆C：
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xa22?yb22?1(a>b>0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
OM?ON?436cot∠MON≠0（O为原点）.若存
在，求直线m的
方程；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.
（I）解法一：直线l:y?3x?23， ①
过原点垂直l的直线方程为y??33x， ② 解①②得x?32.
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，?∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
?c?2,a2a2c?2?32?3.
?6,b2?2. 故椭圆C的方程为
x26?y22?1. ③
解法二：直线l:y?3x?23.
p?q?3??23?22设原点关于直线l对称点为（p，q），则?解得p=3. ?q?3???1.?p?∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上， ?a2c?3. ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
?c?2,a2?6,b2?2. 故椭圆C的方程为
x26?y22?1. ③
（II） 解法一：设M（x1,y1），N（x2,y2）.当直线m不垂直x轴时，直线m:y?k(x?2)代入③，
2222整理得(3k?1)x?12kx?12k?6?0, ?x1?x2??12k3k22?1,x1?x2?12k3k22?6?1,
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12k3k22|MN|?1?k2(x1?x2)?4x1x2?21?k2(??1)?4?212k3k22?6?1?26(1?k)3k22?1,
点O到直线MN的距离d?43|2k|1?k2
436,
cos?MONsin?MON
?OM?ON?6cot?MON,即 |OM|?|ON|cos?MON?436,?S?OMN?26?0,
?|OM|?|ON|sin?MON?236.?|MN|?d?43即46|k|k2?1?436(3k?1).
整理得k2?13,?k??33.
23当直线m垂直x轴时，也满足S?OMN?332336.
故直线m的方程为y?x?,或y??33x?233,或x??2.
经检验上述直线均满足OM?ON?0.
3323333233所以所求直线方程为y?x?,或y??x?,或x??2.
解法二：设M（x1,y1），N（x2,y2）.当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k(x+2)代入③，
2222整理得(3k?1)x?12kx?12k?6?0, ?x1?x2??
∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE|=e(以下与解法一相同.
a212k3k22?1,
c?x1)?e(a2c?x2)?ca(x1?x2)?2a?26?(?12k3k22?1)?26?26(k3k22?1)?1.
解法三：设M（x1,y1），N（x2,y2）. 设直线m:x?ty?2，代入③，整理得(t?3)y?4ty?2?0. ?y1?y2?
4tt?3222,y1y2??2t?32,
|y1-y2|=(y1?y2)?4y1y2=(4324tt?32)?28t?32?24t?24(t?3)43222
cos?MONsin?MON
?OM?ON?6cot?MON,即 |OM|?|ON|cos?MON?436,?S?OMN?236.
6?0,
?|OM|?|ON|sin?MON?28
S?OMN?S?OEM?S?OEN?12|OE|?|y1?y2|?24t?24(t?3)222.
∴
24t?24(t?3)222=
23426，整理得t?3t. 解得t??3,或t?0.
故直线m的方程为y?33x?233,或y??33x?233,或x??2.
经检验上述直线方程为OM?ON?0.
3323333233 所以所求直线方程为y?x?,或y??x?,或x??2.
练习2、（08陕西理）已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
????????（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22222x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得2x?kx?2?0， 解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，由韦达定理得x1?x2?x1?x22k2k，x1x2??1，
y M 2 B 1 N O 1 A ?xN?xM??kk2??，?N点的坐标为?，?． 4?48?kk???m?x??， 84??2x 2设抛物线在点N处的切线l的方程为y?将y?2x代入上式得2x?mx?22mk4?k8?0， ?直线l与抛物线C相切，
?mkk2?222???m?8????m?2mk?k?(m?k)?0，?m?k． 即l∥AB．
8??42????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0，则NA?NB，又?M是AB的中点，
?|MN|?12|AB|．
2?k21?k?4???2． ?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]??2222?24?由（Ⅰ）知yM111?MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|?k24?2?k28?k?1682．
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又|AB|?1?k?|x1?x2|?221?k?(x1?x2)?4x1x2 22 ?21?k?21?k????4??(1?)2?2?k??1k?22． 16?k?168?14????????k?1?k?16，解得k??2． 即存在k??2，使NA?NB?0．
22222解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得
2x?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?x1?x22k2k2，x1x2??1．
?xN?xM??kk2?2?，?N点的坐标为?，?．?y?2x，?y??4x， 4?48?k4?k，?l∥AB．
?抛物线在点N处的切线l的斜率为4?????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0．
22???????kk????kk?222x1?NB??x2?，2x2?由（Ⅰ）知NA??x1?，?，?，则 4848?????????????k??kNA?NB??x1???x2?4??4?22??2k??2k???2x2?? ???2x1?8??8????2k2??2k2?k??k????x1???x2???4?x1???x2??
441616????????k??k???x1???x2?4??4?k??k????1?4x?x????1??24??4??????? ??22?kk??k???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??
4164????222?kkk??kk??k???1??????1?4?(?1)?k??????1?4216??24??16???32??3?k??0， ??4?????1?k216?0，??3?34????????k?0，解得k??2． 即存在k??2，使NA?NB?0．
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