不等式知识
目录：
三道小题
（一）一些基础。。。
（二）不等式的一些直观解释。。。 （三）谈谈放缩法。。。 （四）杂谈 关于配方法。。。 （五）杂谈 差分代换。。。
（六）杂谈 谈谈切线法及其推广 （七）介绍几个重要的不等式①。。。 （八）介绍几个重要的不等式②。。。 （九）杂谈 再谈配方法。。。。
（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。
（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。 （十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。 （十三）细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。 （十四）幂平均函数及其他。。。。。。。 （十五）SOS定理。。。
（十六）凸函数理论及受控理论。。。
（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。 （十八）关于机械化方法的历史。。。 （十九）多元函数极值的偏导方法。。。。 （二十）解析——几何与代数的桥梁 小测试 A（轮换不等式） 小测试 B（含参情况） 小测试 C（对称破缺）
出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：
①对于实数 x , y , z 证明：
②求 f(x) = x^x 的最小值。
③对于正数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 , 证明：
感觉如何？一般来说都可以做出来，我们继续。
一） 一些基础。。。
因为懒，我们发明了这么两个符号:
sss.这是懒到cyc都不写了。。。 之后不引人sym，（写起来）太麻烦。。。
因为懒，再引入逻辑符号：且& ,或|| ,推出=> ,逆推出<= ,等价于<=> ,当且仅当iff 我总说的sss.是“事实上”的意思。。。 说说基本性质：
三分律：任何两个实数都有确定的序关系。
对逆性：a > b <=> b < a
传递性：a > b || b > c => a > c. 单调性：a > b => a + c > b + c. 完事了。。简单吧。。。
谈谈“加糖原理”（糖水不等式，糖水更甜原理and more...）：
这个式子看似简单，到IMO上去也能用得着。。。例如IMO46： 对于正数 x , y , z 满足xyz ≥ 1证明：
证明：设x = k a , y = k b , z = k c使得abc = 1
（这样就完成了齐次化工作，根据后面点知识很容易证明下式）
sss.我们经常用加糖原理证明一类条件上带有不等号的结论。 加糖原理可推广至“溶液混合原理”：
更广泛的是“加权混合原理”：
这些式子可以通过他们的名字去简单的理解。
对于（很多高端的）不等式来说，绝对值既基础又高端。。 二元形式的（绝对值）三角不等式： 对于实数a , b（可推广至复数或向量），有： n元形式的（绝对值）三角不等式： 对于实数a_k（可推广至复数或向量），有：
三角不等式是度量空间的基本性质，无论对那种度量来说，三角不等式都是成立的。
对许多中学生来说度量即: 这很好。。sss.非负性，同一性，对称性，三角不等式是度量空间的四条腿。。。在很多时候将式子放到其他度量空间中研究，会事半功倍。
二） 不等式的一些直观解释。。。
有人说：“什么是不等式， 我看不懂代数结构啊。”
众所周知，你看的书要是有图，自己要是不板着点，过一会你就变成看图不看字了。。。 所以我就要你看图。。。 为什么f(x) = x^2≥0?
OK,看明白了。。
为什么68 - 120 x + 40 x^2 + 10 x^8 + 2 x^9 + x^10 ≥ 60 x^3 - 124 x^4 + 40 x^5 - 9 x^6 + 34 x^7 68 - 120 x + 40 x^2 + 10 x^8 + 2 x^9 + x^10 -(60 x^3 - 124 x^4 + 40 x^5 - 9 x^6 + 34 x^7) = (x - 1)^2 (x^2 + 4 x + 17) (x^3 - 2)^2 ≥ 0. 我上哪知道去！！！ 看看图吧。。
大于1那部分真是相当紧。。。
也不是那么紧吗。。。这就是画图的劣势。。 二元的也一样：
为什么(a + b)/2 ≥ sqrt(ab)呢？ 如图：
对于三元形式，我们可以用动态规划的方法理解： 对于条件a^2+b^2+c^2=2 , a+b+c的最小值如何？
看出a+b+c=√6时，两图像相切。所以根据高中线性规划的知识可知a+b+c≥√6，当且仅当a=b=c=√6/3时取等。
（三）谈谈放缩法。。。
原则上没有一个绝对的最强不等式，只有满足一定条件限制的最强情况。 就比如说三元三次完全对称形整式中最强的为三次Schur不等式： 对于正数a , b , c有：
但是去掉条件整式，我们提出来这个式子： 对于正数a , b , c有：
可见，我们传说的Schur也被放缩了。。。
所以说，一切不等式原则上都可以用放缩法解决。。。只是简不简单了。。。 为了形象的理解，我们用一元不等式作图解释： 利用公切线y = x放缩证明：exp(x)-1 ≥ x ≥ ln(x+1).
放缩是无穷无尽的：
1+x ≤ 1+x+x^2/2 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720 ≤ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320
1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320+x^9/362880
1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720+x^7/5040+x^8/40320+x^9/362880+x^10/3628800 ≤ ... ≤ exp(x)
≤ ≤ ≤ ≤
推广（包括证明方法）与紧化是不等式专家们不懈追求的东西，更是他们的乐趣所在。事实上，发现问题比解决它更为重要，漂亮的解决一个问题，是不等式爱好者们喜欢追求的东西，提出一个漂亮的问题，是不等式专家们热衷的话题。
四次Schur是一个强度一般的结论，我们提出了一些补充： 三元四次完全对称不等式中，最强的为： 可转化为基本对称多项式的形式：
附带说一下：
三元四次轮换对称不等式中，最强的为：
容易看出，这里面出现了参数p，而三次Schur却是被固定的参数，这是因为不等式的自由度增加了，自由度这个词我从分析力学中借用过来，可能有更规范的说法，我不去探寻了。 为了方便，先设：
三元三次完全对称最强不等式，要满足
1.完全对称，所以根据对称多项式基本定理，不妨设： 2.均值取等： 27 + 9 x + y = 0. 3.最强：
证明得到：x = -1 , y = 6 化简得到熟悉的三次Schur。。。